? ?? ? ?在科學(xué)計(jì)算和工程應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到需要擬合一系列的離散數(shù)據(jù)，最近找了很多相關(guān)的文章方法，在這里進(jìn)行總結(jié)一下其中最完整、幾乎能解決所有離散參數(shù)非線性擬合的方法

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第一步：得到散點(diǎn)數(shù)據(jù)

根據(jù)你的實(shí)際問題得到一系列的散點(diǎn)

例如：

x=[3.2,3.6,3.8,4,4.2,4.8,5,5.4,6.2,6.4,6.6,6.9,7.1]';%加上一撇表示對(duì)矩陣的轉(zhuǎn)置 y=[0.38,0.66,1,0.77,0.5,0.66,0.83,1,0.71,0.71,1,0.87,0.83]';

第二步：確定函數(shù)模型

根據(jù)上述的實(shí)際散點(diǎn)確定應(yīng)該使用什么樣的曲線，或者說是想要模擬的曲線

t=[3.2,3.6,3.8,4,4.2,4.8,5,5.4,6.2,6.4,6.6,6.9,7.1]'; tt=[0.38,0.66,1,0.77,0.5,0.66,0.83,1,0.71,0.71,1,0.87,0.83]';plot(t,tt,'.');%得到散點(diǎn)圖

散點(diǎn)圖如下所示：

我們已知現(xiàn)存的幾種典型的（也是絕大多數(shù)情況下的函數(shù)模型）

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選定一個(gè)與散點(diǎn)圖像相匹配的函數(shù)模型，在此例中我們選擇典型的S型曲線模型y= 1/(a+b*e^(-x))，其實(shí)此處的函數(shù)模型可以任意。

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第三步：確定選用函數(shù)模型中的未知參數(shù)

? ? ??首先了解一下matlab中的inline函數(shù)，inline是用來定義內(nèi)聯(lián)函數(shù)的
比如說：
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y=inline('sin(x)','x') %第一個(gè)參數(shù)是表達(dá)式，第二個(gè)參數(shù)是函數(shù)變量 y(0) %計(jì)算sin(0)的值 y(pi) %計(jì)算sin(pi)的值 q=quad(y,0,1); %計(jì)算sin(x) 在0到1上的積分

? ? ? ?之后，我們?cè)诖a中進(jìn)行函數(shù)的定義

x=[3.2,3.6,3.8,4,4.2,4.5,4.8,5,5.3,5.4,5.6,5.8,6,6.2,6.4,6.6,6.9,7.1]'; y=[0.38,0.66,1,0.77,0.5,0.33,0.66,0.83,0.33,1,0.33,0.5,0.33,0.71,0.71,1,0.87,0.83]';myfunc = inline('1./(beta(1)+beta(2).*exp(-x))','beta','x');%三個(gè)參數(shù)分別為：函數(shù)模型(注意需要使用點(diǎn)除和點(diǎn)乘)，待定系數(shù)，自變量beta0 = [0.2,0.2]';%待定系數(shù)的預(yù)估值 beta = nlinfit(x,y,myfunc,beta0);%

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其中，beta返回了非線性擬合之后的待定系數(shù)，beta(1)和beta(2)表示待定系數(shù)，可以為任意數(shù)量的擴(kuò)展beta(n)，也就說明了選擇函數(shù)模型的自由性，甚至可以有100個(gè)參數(shù)！

beta0表示的是函數(shù)模型中待定系數(shù)的預(yù)估值，可以任意設(shè)定

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? ? ? ? matlab?中的nlinfit(x,y,f,a)函數(shù)：用于擬合非線性表達(dá)式的函數(shù)
f:符號(hào)函數(shù)句柄,如果是以m文件的形式調(diào)用的時(shí)候,別忘記加@.這里需要注意,f函數(shù)的返回值是和y匹對(duì)的,即擬合參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)是(f-y)^2取最小值,具體看下面的例子
a:最開始預(yù)估的值(預(yù)擬合的未知參數(shù)的估計(jì)值)。如上面的問題如果我們預(yù)估A為1,B為2,則a=[1 2]
x:我們已經(jīng)獲知的x的值
y:我們已經(jīng)獲知的x對(duì)應(yīng)的y的值（這部分不懂的在matlab中help命令進(jìn)行了解）

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求解出beta的大小：beta(1) = 1.1562 ?beta(2) = 15.1875;

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畫圖：使用plot()函數(shù)

t=[3.2,3.6,3.8,4,4.2,4.8,5,5.4,6.2,6.4,6.6,6.9,7.1]'; tt=[0.38,0.66,1,0.77,0.5,0.66,0.83,1,0.71,0.71,1,0.87,0.83]';plot(t,tt,'.'); hold on%保證同時(shí)顯示x = 0:0.01:8; y = 1./(1.1562+15.1875.*exp(-x));plot(x,y);

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結(jié)果：是不是很棒！~，另外可以自行加上對(duì)應(yīng)的橫縱坐標(biāo)內(nèi)容，這里就不多說了。

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總結(jié)一下matlab非線性擬合散點(diǎn)圖的過程：得到散點(diǎn)數(shù)據(jù)=>確定函數(shù)模型=>求解函數(shù)模型的待定系數(shù)=>得到擬合函數(shù)的具體形式=>畫出擬合圖像

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用過Matlab的擬合、優(yōu)化和統(tǒng)計(jì)等工具箱的網(wǎng)友，會(huì)經(jīng)常遇到下面幾個(gè)名詞：

SSE(和方差、誤差平方和)：The sum of squares due to error
MSE(均方差、方差)：Mean squared error
RMSE(均方根、標(biāo)準(zhǔn)差)：Root mean squared error
R-square(確定系數(shù))：Coefficient of determination
Adjusted R-square：Degree-of-freedom adjusted coefficient of determination

下面我對(duì)以上幾個(gè)名詞進(jìn)行詳細(xì)的解釋下，相信能給大家?guī)硪欢ǖ膸椭?#xff01;！

一、SSE(和方差)
該統(tǒng)計(jì)參數(shù)計(jì)算的是擬合數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的誤差的平方和，計(jì)算公式如下

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SSE越接近于0，說明模型選擇和擬合更好，數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)也越成功。接下來的MSE和RMSE因?yàn)楹蚐SE是同出一宗，所以效果一樣

二、MSE(均方差)
該統(tǒng)計(jì)參數(shù)是預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)誤差的平方和的均值，也就是SSE/n，和SSE沒有太大的區(qū)別，計(jì)算公式如下

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三、RMSE(均方根)
該統(tǒng)計(jì)參數(shù)，也叫回歸系統(tǒng)的擬合標(biāo)準(zhǔn)差，是MSE的平方根，就算公式如下

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在這之前，我們所有的誤差參數(shù)都是基于預(yù)測(cè)值(y_hat)和原始值(y)之間的誤差(即點(diǎn)對(duì)點(diǎn))。從下面開始是所有的誤差都是相對(duì)原始數(shù)據(jù)平均值(y_ba)而展開的(即點(diǎn)對(duì)全)!!!

四、R-square(確定系數(shù))
在講確定系數(shù)之前，我們需要介紹另外兩個(gè)參數(shù)SSR和SST，因?yàn)榇_定系數(shù)就是由它們兩個(gè)決定的
(1)SSR：Sum
of squares of the regression，即預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)均值之差的平方和，公式如下

(2)SST：Total sum of squares，即原始數(shù)據(jù)和均值之差的平方和，公式如下

細(xì)心的網(wǎng)友會(huì)發(fā)現(xiàn)，SST=SSE+SSR，呵呵只是一個(gè)有趣的問題。而我們的“確定系數(shù)”是定義為SSR和SST的比值，故

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其實(shí)“確定系數(shù)”是通過數(shù)據(jù)的變化來表征一個(gè)擬合的好壞。由上面的表達(dá)式可以知道“確定系數(shù)”的正常取值范圍為[0
1]，越接近1，表明方程的變量對(duì)y的解釋能力越強(qiáng)，這個(gè)模型對(duì)數(shù)據(jù)擬合的也較好。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的matlab 万能实用的非线性曲线拟合方法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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