乘法逆元

定義：若$a?x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$，則$x$為$a$在$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$下的逆元

作用：求$\frac{b}{a}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$，的$\frac{1}{a}$在$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$下的整數取值

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求法：

擴展歐幾里得：

前提：$a\perp p$（因為擴展歐幾里得要求方程$ax+by=1$的$a\perp b$）

做法：若是要求$a?x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$，其實就是要求$ax+by=1$的$x$的取值，擴展歐幾里得求解即可

代碼實現:

#include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define int long long using namespace std;void read(int &sum) {sum=0;char last='w',ch=getchar();while (ch<'0' || ch>'9') last=ch,ch=getchar();while (ch>='0' && ch<='9') sum=sum*10+ch-'0',ch=getchar();if (last=='-') sum=-sum; } int gcd(int a,int b) {if (a%b==0) return b;else return gcd(b,a%b); } void EX_gcd(int a,int b,int &x,int &y) {if (b==0) x=1,y=0;else EX_gcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x; } int a,b,c; signed main() { // freopen("M.in","r",stdin); // freopen("M.out","w",stdout);read(a),read(b),c=1;int t=gcd(a,b);a/=t,b/=t;int x,y;EX_gcd(a,b,x,y);x*=c/t,y*=c/t;printf("%lld",(x+b*100)%b); // fclose(stdin);fclose(stdout);return 0; }

快速冪

前提：$p$是質數，且$a\perp p$（因為費馬小定理$a^{p?1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，中$p$是質數，且$a\perp$）

做法：$\because a?x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

由費馬小定理得，$\therefore a?x\equiv a^{p?1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

兩邊同時除$a$得，$\therefore x\equiv a^{p?2}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

最后快速冪加$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d})$結束

代碼實現：

#include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define int long long using namespace std;void read(int &sum) {sum=0;char last='w',ch=getchar();while (ch<'0' || ch>'9') last=ch,ch=getchar();while (ch>='0' && ch<='9') sum=sum*10+ch-'0',ch=getchar();if (last=='-') sum=-sum; } int a,p; int sortm(int x,int k) {if (k==0) return 1;if (k==1) return x%p;int t=sortm(x,k/2)%p;if (k%2==0) return t*t%p;else return t*t%p*x%p; } signed main() { // freopen("M.in","r",stdin); // freopen("M.out","w",stdout);read(a),read(p);int ans=sortm(a,p-2);printf("%lld",ans); // fclose(stdin);fclose(stdout);return 0; }

線性算法

作用：求$1$~$n$的所有數的逆元

做法：首先我們知道$1$的逆元為$1$，然后設要求的為$i$，再設$p=i?k+r$，把這個式子放在$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$下，得$i?k+r\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，兩邊同時乘以$i^{?1},r^{?1}$，得$k?r^{?1}+i^{?1}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，所以$i^{?1}\equiv ?k?r^{?1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，所以$i^{?1}\equiv ??\frac{p}{i}??(p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i{)}^{?1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，這樣我們就可以通過前面的逆元求出當前逆元。

代碼實現：

#include<bits/stdc++.h> #define int long long using namespace std; int n,p; int inv[6*1000000]; signed main() {cin >> n >> p;inv[1]=1;for (int i=2;i<=n;i++)inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;for (int i=1;i<=n;i++)printf("%lld\n",inv[i]); }

階乘逆元

作用：求$1!,2!...n!$的逆元

做法：$(inv[i]=\frac{1}{i})$因為$inv[i+1]=\frac{1}{(i+1)!}$，所以$inv[i+1]?(i+1)=\frac{1}{i!}$，所以$inv[i]=inv[i+1]?(i+1)$，這樣我們就可以$O(n)$求解了

代碼實現

#include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define int long long using namespace std;void read(int &sum) {sum=0;char last='w',ch=getchar();while (ch<'0' || ch>'9') last=ch,ch=getchar();while (ch>='0' && ch<='9') sum=sum*10+ch-'0',ch=getchar();if (last=='-') sum=-sum; } void EX_gcd(int a,int b,int &x,int &y) {if (b==0) x=1,y=0;else EX_gcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x; } int n,p; int inv[3*1000001]; signed main() { // freopen("M.in","r",stdin); // freopen("M.out","w",stdout);read(n);read(p);inv[n]=1;for (int i=1;i<=n;i++) inv[n]*=i,inv[n]%=p;int x,y;EX_gcd(inv[n],p,x,y);inv[n]=x;for (int i=n-1;i>=1;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%p;for (int i=1;i<=n;i++)printf("%lld ",(inv[i]+p*100)%p); // fclose(stdin);fclose(stdout);return 0; }

Tags:乘法逆元 數論 信息學

總結

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