逆元是什么

我們都知道，在模意義下：

$(a+b)\%p=(a\%p+b\%p)\%p$

$(a?b)\%p=(a\%p?b\%p)\%p$

$(a\times b)\%p=(a\%p\times b\%p)\%p$

但是：

$(\frac{a}{b})\%p\ne (\frac{a\%p}{b\%p})\%p$

因此，逆元就誕生了。

若$ax\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，那么我們稱$x$為$a$關于$p$的逆元，用$a^{?1}$表示

所以$(\frac{a}{b})\%p=(a\%p\times b^{?1}\%p)\%p$

這樣我們就可以解決除法的問題了。

怎么求逆元

求逆元的前提：$\gcd (a,p)=1$

費馬小定理

因為$a^{?(p)}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

所以$a^{?(p)?1}\equiv a^{?1}(\mathrm{mod}p)$

所以$a^{?1}\equiv a^{?(p)?1}(\mathrm{mod}p)$

具體證明參見OI-WIKI

時間復雜度為$O(logp)$

擴展歐幾里德

$ax+py=1$的一組解$(x,y)$，$x$是$a$關于$p$的逆元。

證明：

$$\begin{array}{rl}ax+py& =1\\ ax\%p+py\%p& =1\%p\\ ax+py& \equiv 1(\mathrm{mod}p)\\ ax& \equiv 1(\mathrm{mod}p)\end{array}$$

所以$x$是$a$關于$p$的逆元。時間復雜度為$O(logp)$

連續(xù)數(shù)的逆元

求$1$到$n$的逆元，如果一個一個求，那么很容易超時。我們可以線性來求。

顯然，$1^{?1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

假設現(xiàn)在我們求完了前$i?1$個數(shù)的逆元，要求第$i$個。我們令$k=?\frac{p}{i}?,j=p\%i$，有$p=ki+j$，所以

$ki+j\equiv (\mathrm{mod}p)$

兩邊同時乘$i^{?1}\times j^{?1}$得：

$k{j}^{?1}+i^{?1}\equiv 0(\mathrm{mod}p)$

$i^{?1}\equiv ?k{j}^{?1}(\mathrm{mod}p)$

將$k=?\frac{p}{i}?,j=p\%i$代入得：

$i^{?1}\equiv ??\frac{p}{i}?\times (p\%i{)}^{?1}(\mathrm{mod}p)$

因為$p\%i<i$，我們已經(jīng)求出小于$i$的正整數(shù)的逆元了，所以$j$的逆元已知。

于是，當$i>1$時，$i^{?1}\equiv ??\frac{p}{i}?(p\%i{)}^{?1}(\mathrm{mod}p)$

code

ny[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++){ny[i]=(p-p/i)*ny[p%i]%p; }

求階乘的逆元

求$1$到$n$的逆元。同樣地，我們也可以用線性的方法來求。

先求出$1$到$n$的階乘$s[i]$，然后用$O(logp)$的時間復雜度求出$s[n]$的逆元$ny[n]$

對于每一個$i(1\le i<n)$，因為$\frac{1}{i!}=\frac{1}{(i+1)!}?(i+1)$，所以$ny[i]=ny[i+1]?(i+1)\%p$

時間復雜度$O(n+logp)$

code

jc[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++){jc[i]=jc[i-1]*i%p; } ny[n]=mi(jc[n],p-2); for(int i=n-1;i>=0;i--){ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%p; }

其中$mi$是求快速冪

求任意n個數(shù)的逆元

先計算出前綴積$s[i]$，再求$s[n]$的逆元$ny[n]$

與求階乘的逆元類似，對于每一個$i(1\le i<n)$，$ny[i]=ny[i+1]?a[i+1]\%p$

那么$a[i]$的逆元就是$s[i?1]?ny[i]\%p$，時間復雜度也是$O(n+logp)$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的c++乘法逆元的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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