前言

為了回歸算法本身，為了搞懂算法，我參考了不同博客，并將他們做出整合和補充：

• https://www.luogu.com.cn/blog/tanrui-2960967961/matrix-tree-ding-li-ji-ji-ying-yong#
• https://blog.csdn.net/a_crazy_czy/article/details/72971868
• https://www.cnblogs.com/zj75211/p/8039443.html
• https://www.cnblogs.com/lishuyu2003/p/12093947.html

本文將分成$3$個部分：行列式的性質，定理的證明，定理的應用和擴展。標記的即為暫時不懂的地方，會漸漸完善

UPD 2020/9/27：增加了一些證明，修改了一些錯誤之處

行列式的性質

$det(A)={\sum }_p(?1{)}^{r(p)}\times A_{1,p_1}\times ......\times A_{n,p_n}$

性質1：互換矩陣的兩行（列），行列式變號

可以看如下示例（盜個圖）

對于后面乘積相同的兩項，我們只用考慮前面系數變化的情況，即行列式的變化情況。

此處引出一個結論，對于一個排列，交換其中兩個元素，行列式變化為奇數：

那么后面的乘積不改變，而前面的系數是一定要變號的，所以行列式變號。

性質2：如果有兩行完全相同，行列式為0

交換這兩行，得到的矩陣相同，行列式不變，但由$(1)$得行列式變號，所以行列式一定為$0$

性質3 如果矩陣的某一行(列)中的所有元素都乘以同一個數k，新行列式的值等于原行列式的值乘上數k

提公因數即可

類似地，如果矩陣的某一行(列)中的所有元素都有一個公因子k，則可以把這個公因子k提到行列式求和式的外面。

性質4 如果矩陣有兩行(列)成比例(比例系數k)，則行列式的值為 0

先把這個比例系數提出去，然后可以運用性質2

性質5 如果把矩陣的某一行(列)加上另一行(列)的k倍，則行列式的值不變

考慮行列式的計算，我們把它拆成兩部分，分別是原來的部分和新加的部分（因為每一行只會選一個，看做特殊的分配率），新加的部分一定滿足性質4，加上的部分行列式為$0$，所以行列式不變。

優化行列式求法

綜上，我們可以把矩陣消成上三角矩陣，求對角線乘積即為行列式的值，時間復雜度$O(n^3)$

標記1：如果要求的矩陣不允許出現實數，且需要取模，可以看看給出的博客，我不會。

Matrix Tree定理的證明

內容

$\text{Kirchhoff}$ 矩陣是指的對于一個圖構造出來的一個矩陣，具體定義為度數矩陣減去鄰接矩陣，度數矩陣指：
$$A_{i,j}=\{\begin{array}{ll}de{g}_i& i=j\\ 0& otherwise\end{array}$$定理：一個圖中的生成樹個數等于其 $\text{Kirchhoff}$ 矩陣的任意一個代數余子式的行列式。

性質1

一個圖的 $\text{Kirchhoff}$ 矩陣行列式為零。

可以考慮高斯消元的過程，一開始每一行的和為$0$，而消元過程中每一行的和保持是$0$，最后我們要消成上三角矩陣，最后一行只有最邊上元素可能有值，而行和為$0$，這個值也是$0$，所以行列式為$0$

性質2

一個圖的 $\text{Kirchhoff}$ 矩陣的任一代數余子式的行列式相同。

標記2：yysy，這個性質我證不來

2020/9/27更新：這個結論好像并不需要證明，證明出矩陣樹定理之后可以反推這個結論。

前置定義

我們定義一個圖的關聯矩陣$B$為：對于第$k$條邊$(u,v)$，$B_{k,u}=1,B_{k,v}=?1$

一個矩陣的轉置矩陣為：$A_{i,j}^T=A_{j,i}$

有一個性質，設這個圖的 $\text{Kirchhoff}$ 為$L$：
$$L=B{B}^T$$

標記3：yysy，這個性質我證不來

2020/9/27更新：其實這個證明還是比較容易的，就用矩陣乘法的定義，這次乘法$b_{u,i}$和$b_{i,v}^{\prime }$會對$a_{u,v}$產生$?1$的貢獻，會對$b_{u,i},b_{i,u}^{\prime }$會對$a_{u,u}$產生$1$的貢獻，就變成了原圖的矩陣。

Part 1

對于一個非聯通圖$G$，$|L|=0$

設 $M_i$ 為 $L$ 刪去第$i$行第$i$列后得到的矩陣，設 $G_i$ 為第$i$個強聯通分量，我們把同一個強聯通分量的結點通過交換行換到一起（雖然會變號，但如果行列式為$0$就沒關系），$\text{Kirchhoff}$ 矩陣變為這樣：
$$\begin{array}{cccc}{G}_1& 0& ......& 0\\ 0& G_2& ......& 0\\ ...& ...& ......& ..\\ 0& 0& 0& G_k\end{array}$$其中$|G_i|=0$（$\text{Kirchhoff}$ 矩陣的性質$1$），我們可以看出：
$$|L|=|G_1|\times .....\times |G_k|$$所以$|L|=0$，也不難推知$|M_i|=0$

Part 2

對于一棵樹$G$，$|M_i|=1$

標記4：yysy，我不會證

2020/9/27更新：補充這個結論的證明，主要是運用巧妙的消元。

首先我們定根為$1$，把其他點按照到$1$的距離排序，我們按這個順序對點重新編號，這樣構成的矩陣是按深度排了序且和原來的矩陣等效（因為每一對交換都要換行和換列，行列式不變號），我們先把根所在的一行一列刪去，然后看圖：

我們先從右下角的位置考慮，他的值一定是$1$（是葉子），進行上述操作之后往上訪問的時候又可以得到一個值為$1$的點（都被他的兒子消掉了），整個過程之后會變成一個對角線全為$1$的上三角矩陣，所以行列式為$1$

Part 3

標記5：yysy，這個定理不會證明

UPD 2021/2/6：居然有巨佬硬剛這個定理，有時間我去康康

首先要知道$\text{Binet-Cauthy}$定理，內容大致如下：
$$|AB|=\sum _{|S|=n}|A_p|\times |B_p|$$其中A是一個$m\times n$的矩陣，B是一個$n\times m$的矩陣，$A_p$是把$A$的一些行刪去（剩下的行集合為$S$）使之成為$n\times n$的矩陣，$B_p$類似地刪去它的列。

套用這個定理，我們可以推倒：
$$|M_i|=|B_i|\times |B_i^T|=\sum _{|S|=n?1}|B_{i,p}|\times |B_{i,p}^T|$$結合$\text{part?1}$和$\text{part?2}$，我們可以知道當是一棵樹的時候會產生$1$的貢獻，其余情況為$0$，所以$|M_i|$即為生成樹個數。

應用及擴展

板題

點此看題

我因為輸出格式卡了很久，我好像是sb（自信點，把好像去掉）

板題2

點此看題解（一站式服務）

矩陣樹定理的擴展

這是對于更寬泛的問題，做做這道題吧

有向擴展

什么？矩陣樹還能有向擴展？

比較基礎的是這道題

綜合應用

點此看題

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[学习笔记] Matrix tree定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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