数值分析---误差
數(shù)值計(jì)算方法-誤差
誤差的來(lái)源與分類
1.模型誤差
數(shù)學(xué)模型，即表示計(jì)算的公式或方程，本身就是近似的，就不就不精確，這種情況導(dǎo)致的誤差，就叫模型誤差。
2.觀測(cè)誤差
對(duì)物理世界中的參數(shù)進(jìn)行觀測(cè)時(shí)產(chǎn)生的誤差，比如測(cè)定溫度，長(zhǎng)度，電壓，無(wú)論用多么精密的工具，肯定都會(huì)存在誤差。
3.截?cái)嗾`差（方法誤差）
當(dāng)數(shù)學(xué)模型不能得到精確解時(shí)，常要用數(shù)值方法求出它的近似解，近似解與精準(zhǔn)解之間的誤差，即為截?cái)嗾`差。可微函數(shù)f(x)用在x=0附近的值可以用泰勒展開式
近似公式代替，那么此刻的截?cái)嗾`差為
4.舍入誤差
由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)有限和浮點(diǎn)數(shù)表示方法的問題，計(jì)算機(jī)會(huì)按照舍入原則對(duì)超出其表示精度的數(shù)據(jù)舍入，導(dǎo)致結(jié)果的不精確。
例如
模型誤差和截?cái)嗾`差的區(qū)別
根據(jù)前面所說(shuō)，這兩種誤差都是公式上存在誤差。
實(shí)際上泰勒公式本身這個(gè)模型是精確的，只是我們實(shí)際計(jì)算的數(shù)值方法是近似的，這就是二者區(qū)別。數(shù)學(xué)模型是精確的情況下，為了能夠計(jì)算（無(wú)窮多項(xiàng)是計(jì)算不出來(lái)的），我們會(huì)使用帶有截?cái)嗾`差的近似數(shù)值方法。
不言而喻在數(shù)值分析和計(jì)算方法這門課中，我們主要研究后面兩種，即截?cái)嗾`差和舍入誤差。
誤差與有效數(shù)字
設(shè)x為精準(zhǔn)值，x?為x的近似值，則稱e?=x??x為近似值的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。設(shè)x為精準(zhǔn)值，x^{*}為x的近似值，則稱e^{*}=x^{*}-x為近似值的絕對(duì)誤差 ，簡(jiǎn)稱誤差。設(shè)x為精準(zhǔn)值，x?為x的近似值，則稱e?=x??x為近似值的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。
∣e?∣<ε|e^{*}|<\varepsilon ∣e?∣<ε則稱ε為近似值x的絕對(duì)誤差限或者絕對(duì)誤差界，簡(jiǎn)稱誤差限、誤差界,它總是正數(shù)則稱\varepsilon為近似值x的絕對(duì)誤差限或者絕對(duì)誤差界，簡(jiǎn)稱誤差限、誤差界,它總是正數(shù)則稱ε為近似值x的絕對(duì)誤差限或者絕對(duì)誤差界，簡(jiǎn)稱誤差限、誤差界,它總是正數(shù)
當(dāng)然誤差限不能完全表示近似值的好壞。（例如x=10±1，與y=1000±5）所以，除了考慮誤差大小之外，還應(yīng)該考慮x本身的大小。
相對(duì)誤差為er?=ex?=x??xx?e^{*}_{r } = \frac{e}{x^*}=\frac{x^*-x}{x^*}\mathcal{} er??=x?e?=x?x??x?
同時(shí)，相對(duì)誤差絕對(duì)值的上界∣er∣≤εr=ε∣x∣稱ε為相對(duì)誤差限或相對(duì)誤差界同時(shí)，相對(duì)誤差絕對(duì)值的上界 |e_r|\le\varepsilon_r=\frac{\varepsilon}{|x|} 稱\varepsilon為相對(duì)誤差限或相對(duì)誤差界同時(shí)，相對(duì)誤差絕對(duì)值的上界∣er?∣≤εr?=∣x∣ε?稱ε為相對(duì)誤差限或相對(duì)誤差界
相對(duì)誤差也可正可負(fù)，它的絕對(duì)值上限稱為相對(duì)誤差限
當(dāng)精確值x有多位數(shù)時(shí)，常常使用四舍五入的原則得到x的前幾位近似值x?當(dāng)精確值x有多位數(shù)時(shí)，常常使用四舍五入的原則得到x的前幾位近似值x^* 當(dāng)精確值x有多位數(shù)時(shí)，常常使用四舍五入的原則得到x的前幾位近似值x?
例如x=π=3.14159265....例如x=\pi=3.14159265....例如x=π=3.14159265....
取三位x3?,ε3?<=0.002取三位 x^*_3,\varepsilon^*_3<=0.002取三位x3??,ε3??<=0.002
有效數(shù)字
設(shè)數(shù)x是x?的近似值，如果x的絕對(duì)誤差限是它的某一數(shù)位的半個(gè)單位，并且從x左起第一個(gè)非零數(shù)字到該位共有n位，那么就稱這n個(gè)數(shù)字為x的有效數(shù)字，也稱用x近似x?時(shí)具有n位有效數(shù)字。設(shè)數(shù)x是 x^* 的近似值，如果x的絕對(duì)誤差限是它的某一數(shù)位的半個(gè)單位，并且從x左起第一個(gè)非零數(shù)字到該位共有n位，那么就稱這n個(gè)數(shù)字為x的有效數(shù)字，也稱用x近似x^* 時(shí)具有n位有效數(shù)字。設(shè)數(shù)x是x?的近似值，如果x的絕對(duì)誤差限是它的某一數(shù)位的半個(gè)單位，并且從x左起第一個(gè)非零數(shù)字到該位共有n位，那么就稱這n個(gè)數(shù)字為x的有效數(shù)字，也稱用x近似x?時(shí)具有n位有效數(shù)字。
則x?=±10m?(a1+a2?10?1+...+an?10?(n?1))其中ai是0到9中的一個(gè)數(shù)字，a1!=0，且則x^*=\pm10^m*(a_1+a_2*10^{-1}+...+a_n*10^{-(n-1)})其中a_i是0到9中的一個(gè)數(shù)字，a_1!=0，且則x?=±10m?(a1?+a2??10?1+...+an??10?(n?1))其中ai?是0到9中的一個(gè)數(shù)字，a1?!=0，且
∣x?x?∣<=12?10m?n+1|x-x^*|<=\frac12*10^{m-n+1}∣x?x?∣<=21??10m?n+1
注意相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限是無(wú)量綱的，而絕對(duì)誤差與誤差限是有量綱。
定理一
設(shè)近似數(shù)x?表示為x?=±10m?(a1+a2?10?1+...+al?10?(l?1))設(shè)近似數(shù)x^*表示為x^*=\pm10^m*(a_1+a_2*10^{-1}+...+a_l*10^{-(l-1)})設(shè)近似數(shù)x?表示為x?=±10m?(a1?+a2??10?1+...+al??10?(l?1))
若x?有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限εr?<=1(2a1)?10?(n?1)若x^*有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限\varepsilon^*_r<=\frac1{(2a_1)}*10^{-(n-1)}若x?有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限εr??<=(2a1?)1??10?(n?1)
反之，若x?其相對(duì)誤差限εr?<=1(2a1)?10?(n?1),則x?至少具有n位有效數(shù)字反之，若x^*其相對(duì)誤差限\varepsilon^*_r<=\frac1{(2a_1)}*10^{-(n-1)},則x^*至少具有n位有效數(shù)字反之，若x?其相對(duì)誤差限εr??<=(2a1?)1??10?(n?1),則x?至少具有n位有效數(shù)字
總結(jié)
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