中國剩余定理

??中國剩余定理又叫孫子定理。在《孫子算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二（除以3余2），五五數(shù)之剩三（除以5余3），七七數(shù)之 剩二（除以7余2），問物幾何？”這個(gè)問題稱為“孫子問題”，解決的孫子問題的一般解法就叫孫子定理又叫 天朝 中國剩余定理。
具體解法分兩步：
??1.找出3和5公倍數(shù)中除7余2的最小的數(shù)（30）、3和7公倍數(shù)中除5余3的最小的數(shù)（63）、5和7公倍數(shù)中除3余2的最小的數(shù)（140），然后將這三個(gè)數(shù)相加得233。（ps：為了簡(jiǎn)化運(yùn)算第一個(gè)數(shù)可以找 % 7 = 1的數(shù)之后在乘2，其他兩個(gè)數(shù)同理分別乘3、2。）
??而尋找取模后為1的數(shù)即為尋找其逆元，逆元的概念后面會(huì)說。
??2.用233除以3、5、7的最小公倍數(shù)105，得到余數(shù)23（即233%105 = 23），23即為所求。

是不是一臉懵（如果明明白白的請(qǐng)無視我這個(gè)菜雞），我第一次看也是想說就這么簡(jiǎn)單？？？

但這是有數(shù)學(xué)依據(jù)的：

??設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為n1、n2、n3。因?yàn)閚1 % 7 == 2，n2、n3又都是7的倍數(shù)所以，(n1 + n2 + n3) % 7 == 2，其他兩個(gè)同理，所以最后得到的數(shù)233（n1+n2+n3）就滿足孫子問題中的三個(gè)條件，但這不一定是最小的解。

那么如何得到最小解？
??只需要在該解的基礎(chǔ)上最大限度的減去3、5、7的公倍數(shù)即可（即對(duì)該解取模233%105），為什么？因?yàn)檫@樣無論怎么減都不會(huì)影響其對(duì)于3、5、7的模數(shù)。

逆元

??給出 a 和 m ，一個(gè)數(shù)有逆元的充分必要條件是gcd(a,m)=1，此時(shí)逆元唯一存在，這時(shí)方程 ax ≡ 1（mod m）的最小整數(shù)解 x 稱為 a 模 m 的逆元。
??逆元的含義：
????在模m意義下，一個(gè)數(shù)a如果有逆元x，那么除以a相當(dāng)于乘x。

??為什么要有乘法逆元呢？

????當(dāng)我們要求（a/b） mod p的值，且a很大，大到會(huì)溢出；或者說b很大，達(dá)到會(huì)爆精度。無法直接求得a/b的值時(shí)，我們就要用到乘法逆元。

??那么如何求解逆元呢？
????根據(jù)上文我們知道ax ≡ 1（mod m）有解的條件是a和m互素，即gcd（a，m） == 1.

????易知ax mod m = ax - (ax / m) * m
????所以ax ≡ 1（mod m） 等價(jià)于 ax - (ax / m) * m = 1
????提出m得
??????ax + m( - ax / m) = 1
????令y = -（ax/m）得
??????ax + my = 1
????所以求解 ax ≡ 1（mod m）等價(jià)于求解 ax + my = 1 ,那么就可以用擴(kuò)展歐幾里得定理求解。

擴(kuò)展歐幾里得定理（exgcd）：

??給出整數(shù)a,b,n,求方程 ax + by = n 的所有整數(shù)解。有解的充分必要條件是gcd（a，b）可以整除 n 。簡(jiǎn)單解釋如下：
????令 a = gce(a,b) * a’、 b = gcd(a,b) * b’ ， 則有 ax + by = gcd(a,b)(a’x + b’y) = n;如果 x 、y 、a’ 、b’都是整數(shù)，那么n必須是gcd(a,b)的倍數(shù)才有整數(shù)解。
??exgcd解出的 x 為 ax + by = gcd(a,b) 中的 x ，若要求 ax + by = n中的 x，兩邊還要乘上 n / gcd(a,b)。
??由歐幾里得算法，得

????ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)=bx′+(a mod b)y′

??代入上文的a mod b = a - ? a / b ? b 得
?????ax + by = bx’ + (a - ? a / b ? b) y’
????????= bx’ + ay’ - ? a / b ? by’
????????= ay’ + b(x’ - ? a / b ?y’)
????得 x = y′ , y = x′ ? ? a / b ?y′
??邊界情況分析，ax′+by′=gcd(a,b)，當(dāng) b=0 時(shí)，a 為 gcd(a,b)，當(dāng)且僅當(dāng) x′=1時(shí)等式成立，y′ 可以為任意值，為方便起見，設(shè)y′=0，那么得到以下代碼：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {if(b==0){x=1;y=0;return;}exgcd(b,a%b,x,y);int z = x; x = y; y = z - (a/b)*y; }

求出的 x 即為 a 模 b 的逆元。

介紹完了看看這道例題：

luogu 曹沖養(yǎng)豬

題目描述
自從曹沖搞定了大象以后，曹操就開始捉摸讓兒子干些事業(yè)，于是派他到中原養(yǎng)豬場(chǎng)養(yǎng)豬，可是曹沖滿不高興，于是在工作中馬馬虎虎，有一次曹操想知道母豬的數(shù)量，于是曹沖想狠狠耍曹操一把。舉個(gè)例子，假如有 1616 頭母豬，如果建了 33 個(gè)豬圈，剩下 11 頭豬就沒有地方安家了。如果建造了 55 個(gè)豬圈，但是仍然有 11 頭豬沒有地方去，然后如果建造了 77 個(gè)豬圈，還有 22 頭沒有地方去。你作為曹總的私人秘書理所當(dāng)然要將準(zhǔn)確的豬數(shù)報(bào)給曹總，你該怎么辦？

輸入格式
第一行包含一個(gè)整數(shù) n (建立豬圈的次數(shù))，接下來 n 行，每行兩個(gè)整數(shù) ai,bi， 表示建立了 ai個(gè)豬圈，有 bi 頭豬沒有去處。你可以假定 ai,aj互質(zhì)。

輸出格式
輸出包含一個(gè)正整數(shù)，即為曹沖至少養(yǎng)母豬的數(shù)目。

輸入

3 3 1 5 1 7 2

輸出

16 #include<cstdio> #include<iostream> #include<cmath>#define ll long longusing namespace std;ll n,a[15],b[15],c[15],mul = 1,ans;void exgcd(ll a,ll b,ll &x, ll&y) {if(b == 0) {x = 1;y = 0;return;}exgcd(b,a%b,x,y);int z = x; x = y; y = z-y*(a/b); }int main( ) {scanf("%d",&n);for(int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);mul *= a[i];//求出所有數(shù)的最小公倍數(shù)（因?yàn)槊總€(gè)數(shù)都互質(zhì)）}for(int i = 1; i <= n; i++) {c[i] = mul / a[i]; //除去a[i]所有數(shù)的最小公倍數(shù)ll x = 0, y = 0;exgcd(c[i],a[i],x,y);//求逆元ans += b[i] * c[i] * (x < 0 ? x + a[i]: x);//累加成其中一個(gè)解}printf("%lld",ans%mul);//輸出最小解return 0; }

兩年沒寫博客了，如有錯(cuò)誤歡迎斧正。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的中国剩余定理（孙子定理）+ exgcd求逆元的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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