现行统编中学数学教科书有多烂
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如我們以前所介紹的，四年多來(lái)數(shù)學(xué)教育技術(shù)討論班系統(tǒng)地研究了現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)編教科書(shū)，從頭到尾過(guò)了至少兩遍，參看了人教版、北師大版等各種版本，并及時(shí)跟進(jìn)新版。原本計(jì)劃最終給出一個(gè)系統(tǒng)的研究報(bào)告,但現(xiàn)在看來(lái)這樣一個(gè)報(bào)告沒(méi)有人能有耐心讀下來(lái)，因?yàn)閱?wèn)題太多了。哪里有嚴(yán)重的問(wèn)題? 如果反過(guò)來(lái)問(wèn)“哪里沒(méi)有嚴(yán)重的問(wèn)題”倒還容易回答些。
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因此,本文采用魯迅寫(xiě)《馬上日記》的方式，僅摘取幾個(gè)“精彩”片段供大家欣賞。
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例0.小學(xué)教科書(shū)的內(nèi)容
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初中數(shù)學(xué)課本中的一些課題如圖形認(rèn)識(shí)初步、概率初步等在小學(xué)教程中都有,幾乎沒(méi)有新內(nèi)容(if at all)，而且也沒(méi)有深化，仍是常識(shí)性的。還有軸對(duì)稱(chēng)、有效數(shù)字等內(nèi)容也是小學(xué)學(xué)過(guò)的。
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還有一些段落像是給低幼兒童寫(xiě)的，如“數(shù)字1與字母X的對(duì)話(huà)”。但有時(shí)又反過(guò)來(lái)，例如人教版七年級(jí)上冊(cè)2.1節(jié)，第一個(gè)問(wèn)題就要求學(xué)生自己列出方程，理由是“小學(xué)已經(jīng)學(xué)過(guò)簡(jiǎn)單的方程”。
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例1.多邊形
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人教版七年級(jí)下冊(cè)中多邊形的定義是“由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形”，華師大版七年級(jí)下冊(cè)中的定義與此一致，北師大版八年級(jí)上冊(cè)、華滬科版八年級(jí)下冊(cè)中的定義加了“封閉”二字，浙教版八年級(jí)下冊(cè)中的定義是“邊數(shù)為3的多邊形角三角形，邊數(shù)為4的多邊形叫四邊形.類(lèi)似地，邊數(shù)為5的多邊形叫五邊形，....邊數(shù)為n 的多邊形叫n 邊形”。不管按哪個(gè)定義，下圖是多邊形。
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對(duì)于這個(gè)漏洞，北師大版和浙教版教材中有注釋，指明其教科書(shū)中所說(shuō)的多邊形，都是指凸多邊形，滬科版教材的注釋還定義了凸多邊形的概念，而蘇教版干脆沒(méi)有定義直接用多邊形。
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在中學(xué)教科書(shū)中引入凸性，有幾個(gè)教師能講，又有幾個(gè)學(xué)生能聽(tīng)懂，而且書(shū)中關(guān)于一般多邊形的唯一定理是多邊形內(nèi)角和定理，根本不需要凸性。
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但人教版中多邊形內(nèi)角的定義是“多邊形相鄰兩邊組成的角，叫做它的內(nèi)角”，這又是一個(gè)漏洞。其他版本也沒(méi)有正確的定義，而且沒(méi)有解釋內(nèi)字的意義。
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詳情可參看[Zoul](該文投到《數(shù)學(xué)通報(bào)》，差點(diǎn)被槍斃，所幸當(dāng)時(shí)是英伯兄做主編。曾多次力挽狂瀾，保繼光任主編后，吾等就再也沒(méi)有如此幸運(yùn)了)。
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對(duì)于一般的多邊形，要寫(xiě)好是有難度的，但如果沒(méi)有這個(gè)能力，起碼可以不寫(xiě)，總比誤人子弟強(qiáng)，況且這對(duì)于一般的中學(xué)生并非重要到不可缺少的程度，以往的一些教科書(shū)中沒(méi)有多邊形內(nèi)角和定理，也未見(jiàn)對(duì)于學(xué)生的幾何數(shù)字有顯著的不良影響。
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例2.全等
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人教版八年級(jí)上冊(cè)第11章中全等的概念是這樣講的:“形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合。能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。”“全等是‘一模一樣’‘完全相等’的意思嗎?”“不考慮圖形的位置時(shí)，可以這么理解。”
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什么叫“能夠重合”? 若對(duì)做法沒(méi)有限制，三角形和圓也能“重合”;但若限制不當(dāng)，全等三角形也不能“重合”。
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一個(gè)科學(xué)的術(shù)語(yǔ)，是有精準(zhǔn)的科學(xué)意義的,需要一個(gè)并不平凡的學(xué)習(xí)過(guò)程才能理解，而不是“自來(lái)就懂”的。用非科學(xué)的術(shù)語(yǔ)(如“形狀”、“大小”、“能夠重合”、“一模一樣”、“完全相等”、“位置”等) 來(lái)解釋科學(xué)術(shù)語(yǔ)(如“全等”,只會(huì)使學(xué)生得到含義模糊似懂非懂的知識(shí)，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格的科學(xué)態(tài)度不利甚至有害。
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就以“全等”為例，從歐幾里德的《幾何原本》直到1980年代我國(guó)的教科書(shū)，都是從三角形全等的概念(三對(duì)對(duì)應(yīng)邊分別相等，三對(duì)對(duì)應(yīng)角也分別相等) 開(kāi)始，待把三角形全等講得較透徹了再進(jìn)一步講四邊形等圖形的全等,再往后才進(jìn)一步講更一般的圖形的全等(參看[Cheng1])。大部分人終生只學(xué)過(guò)三角形全等，這也比什么都不懂強(qiáng)。
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近年來(lái)我對(duì)學(xué)生經(jīng)常擔(dān)憂(yōu)的，不是不懂而是自以為懂。
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人教版中三角形全等的判定定理是這樣引入的: 通過(guò)畫(huà)圖“探索”，其實(shí)還要將一個(gè)三角形剪下來(lái)“放到”另一個(gè)三角形上(怎么“放”沒(méi)有說(shuō))。這樣就“得到”判定三角形全等的多個(gè)方法了。不過(guò)又加上用“角邊角”證明“角角邊”這樣一件多余的事。
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就講了這么多,然后就是做習(xí)題了。編者仿佛在說(shuō): 數(shù)學(xué)很簡(jiǎn)單，一看就懂，一學(xué)就會(huì)。全等三角形是初等幾何中的一個(gè)重要且不平凡的基本概念，要講好并不容易，而把一般的全等概念講好更是有難度的，對(duì)于學(xué)術(shù)水平的要求也較高。連三角形全等都沒(méi)寫(xiě)明白，為什么還要寫(xiě)一般的全等呢? 恐怕主要是源于中國(guó)官場(chǎng)的好大喜功和自命不凡之風(fēng)。
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例3.代入
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代入”是一個(gè)專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)，多數(shù)學(xué)生需要較長(zhǎng)時(shí)間的學(xué)習(xí)才能夠掌握。而一旦掌握代入的概念,對(duì)于以后代數(shù)的學(xué)習(xí)(如復(fù)合函數(shù)、參數(shù)方程等) 會(huì)有很大的促進(jìn)作用。
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老版的教科書(shū)(包括民國(guó)時(shí)代的直到1980年代的)對(duì)于代入概念的引入都非常謹(jǐn)慎，先講多項(xiàng)式的值、解方程的代入法，多項(xiàng)式的變?cè)鷵Q等,在此基礎(chǔ)上引入“代入”這一術(shù)語(yǔ)并做充分的解釋。有的教科書(shū)甚至避免使用“代入”這一術(shù)語(yǔ)。
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但現(xiàn)行統(tǒng)編教科書(shū)卻不然，例如人教版七年級(jí)上冊(cè)2.2節(jié)，在例2中冷不丁地講了多項(xiàng)式化簡(jiǎn)然后代入求值，在此之前甚至沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)“代入”這個(gè)詞，仿佛這應(yīng)該是學(xué)生本來(lái)就懂的。蘇教版，滬科版，浙教版，京教版等也都是使用“代入”一詞而沒(méi)有釋義(詳見(jiàn)[Maqn1])。
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編者們?cè)瓉?lái)就是這樣“避難就易”的。用這樣的教科書(shū)講課,真難為中學(xué)數(shù)學(xué)教師們了。
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例4.函數(shù)
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函數(shù)的內(nèi)容在現(xiàn)行統(tǒng)編教科書(shū)中占相當(dāng)大的比例。以人教版為例,初中就有三章(第14 章一次函數(shù)，第17 章反比例函數(shù)，第26章二次函數(shù))，實(shí)際上第6 章(平面直角坐標(biāo)系)也與此有關(guān)。由于各章不連貫，每章開(kāi)始都要復(fù)習(xí)，難怪常見(jiàn)學(xué)生嫌煩，教師嫌課時(shí)不夠。
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人教版高中第一冊(cè)完全是講函數(shù)(第1章集合與函數(shù)概念,第2?章基本初等函數(shù)，第3章函數(shù)的應(yīng)用)，但沒(méi)有三角函數(shù)。對(duì)各函數(shù)的講法大體上是按照統(tǒng)一的程式:首先通過(guò)實(shí)例引入;然后做一些說(shuō)明(但并不給出精確的定義);然后是打點(diǎn)子畫(huà)圖;然后是由圖中“看出”一些性質(zhì)(但不講理由);然后就是做題了。
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通過(guò)實(shí)例引入原本是個(gè)好方法，但未必適合所有的函數(shù)。硬要教條地對(duì)每個(gè)函數(shù)都如此講，難免出現(xiàn)牽強(qiáng)或費(fèi)解的內(nèi)容。例如引入指數(shù)函數(shù)用的例子，有的書(shū)上是GDP,有的書(shū)上是放射性衰變。
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至于打點(diǎn)子畫(huà)圖，本來(lái)就不是高明的方法，反復(fù)使用更是浪費(fèi)時(shí)間。何況需要用計(jì)算器或電腦計(jì)算(尤其是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等)，既然如此，為何不直接用計(jì)算器或電腦畫(huà)圖?真是現(xiàn)代版的“鄭人買(mǎi)履”。
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早年中學(xué)數(shù)學(xué)教程中沒(méi)有函數(shù)，到民國(guó)后期高中才有了一點(diǎn)(占比例很小，這絲毫不妨礙民國(guó)時(shí)期產(chǎn)生很多杰出的科學(xué)家。這種狀況持續(xù)到1980?年代。現(xiàn)在的統(tǒng)編教科書(shū)雖然有這么多函數(shù)的內(nèi)容，但都是在低水平上多次重復(fù)，再加上內(nèi)容分散，幾乎是碎片化，效率奇低，最終學(xué)得仍很膚淺，對(duì)于函數(shù)的應(yīng)用更是只知道點(diǎn)皮毛。而況一些基本概念如復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)等都沒(méi)有，反三角函數(shù)當(dāng)然更沒(méi)有，很多地區(qū)甚至不講三角函數(shù)(只有“三角”沒(méi)有“函數(shù)”)，所以學(xué)微積分時(shí)還要補(bǔ)。
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我們跟隨英伯兄去歐洲考察中學(xué)數(shù)學(xué)教育后，分別就英國(guó)、法國(guó)和以色列的中學(xué)數(shù)學(xué)教育寫(xiě)了報(bào)告([Li1],[Zhang-Wen1],[Zhang1])。總體而言，這些國(guó)家好的高中，學(xué)生的數(shù)學(xué)水平約比我國(guó)同齡人高3年。那么我國(guó)學(xué)生耽誤在哪里呢??別的不說(shuō),僅函數(shù)就浪費(fèi)了大約1年的時(shí)間(還不算高考復(fù)習(xí))。
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如果學(xué)生較早(例如初三)學(xué)習(xí)微積分，在此前不學(xué)函數(shù)也沒(méi)有關(guān)系，在學(xué)習(xí)微積分時(shí)會(huì)系統(tǒng)深入地理解函數(shù)。國(guó)外的一些中學(xué),以及我國(guó)早期的一些中學(xué)(如我當(dāng)年讀的中學(xué))都有這樣的學(xué)生。
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順便說(shuō)，碎片化的問(wèn)題在幾何中更為嚴(yán)重。以人教版為例，初中平面幾何有下列10章: 第3章圖形認(rèn)識(shí)初步，第5章相交線和平行線，第7章三角形，第11章全等三角形，第12章軸對(duì)稱(chēng)，第18章勾股定理，第19章四邊形，第23章旋轉(zhuǎn)，第24章圓，第27章相似。從初一講到初三，課時(shí)比早年的教程還多，但水平，從嚴(yán)謹(jǐn)性、透徹性、系統(tǒng)性、深入性、邏輯性、幾何直觀、證明、作圖等各方面看，都差遠(yuǎn)了。
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例5.相似
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人教版九年級(jí)下冊(cè)第27 章中相似的概念是這樣講的:“我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形。”“兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到。”
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對(duì)比”兩個(gè)正三角形，可以看到對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。對(duì)于兩個(gè)正六邊形也有類(lèi)似的結(jié)論，“請(qǐng)你自己證明”。“實(shí)際上”，“相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)多邊形滿(mǎn)足對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么著兩個(gè)多邊形相似。”“對(duì)應(yīng)邊的比稱(chēng)為相似比。”
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就講了這么多,然后就是做習(xí)題了。這里的毛病和“全等”類(lèi)似，根源恐怕也一樣，不再重述。
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例6.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
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在這部分，“公理”和“定理”的區(qū)別沒(méi)有界定。在課標(biāo)中就有四條公理(見(jiàn)[KB]):
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公理1: 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。
公理2: 過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。
公理3: 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。
公理4: 平行于同一條直線的兩條直線平行。
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各版統(tǒng)編教科書(shū)中更亂，同一個(gè)命題，在一本教科書(shū)中稱(chēng)為公理,在另一本教科書(shū)中則可能稱(chēng)為定理，但稱(chēng)為定理也不給證明。各教科書(shū)中只有少數(shù)例行公事的驗(yàn)證，沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的證明(參看[Zhangy1])。
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從歐幾里德的《幾何原本》直到1980 年代我國(guó)的教科書(shū)，對(duì)于“公理”和“定理”的區(qū)別都有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕缍ā９硎侵苯訌膶?shí)驗(yàn)得到的，不加證明而采用，應(yīng)盡可能少。僅就上述課標(biāo)中的公理而言，其中后兩條在老版教科書(shū)中都是定理，其中第3 條可換為公理“兩個(gè)平面不能只有一個(gè)公共點(diǎn)”，第4 條不需要新公理也可推出。在這一點(diǎn)上，課標(biāo)和各版本統(tǒng)編教科書(shū)都沒(méi)有科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。
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人教版對(duì)各條公理或定埋的講法大體上是按照統(tǒng)一的程式: 先引入一個(gè)術(shù)語(yǔ)，然后舉例子，然后說(shuō)“通過(guò)觀察我們看出”或“容易發(fā)現(xiàn)”某現(xiàn)象，然后就“由此得到”某公理或定理，然后就是做題了。
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但究竟怎樣“觀察”才能“看出”，書(shū)里都沒(méi)有說(shuō)。實(shí)際教學(xué)中不過(guò)是硬灌給學(xué)生死記而已。必須指出，空間直線與平面之間的位置關(guān)系恰恰不是能簡(jiǎn)單地“觀察”到的，因?yàn)槿说囊曈X(jué)處理的是二維圖像，而這里涉及的很多對(duì)象如二面角、異面直線等都是實(shí)質(zhì)上的空間圖形，而況由于視覺(jué)經(jīng)過(guò)到視網(wǎng)膜的投影，不保持空間直線的平行性。(要想觀察到，需要做不平凡的實(shí)驗(yàn)，我還沒(méi)有見(jiàn)到過(guò)這方面的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，如果有人做,對(duì)于教學(xué)應(yīng)是很有意義的。)
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不客氣地說(shuō)，這部分教程從課標(biāo)到教材都是在蒙人。
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例7.極值
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上面的例子都屬于必修內(nèi)容，這個(gè)例子屬于選修內(nèi)容中微分部分(在北京屬于高考范圍)。人教版中數(shù)學(xué)B 版選修1-1 中如此定義極值:
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“設(shè)函數(shù)y= f(x)及其定義域內(nèi)一點(diǎn)x0,對(duì)于存在一個(gè)包含x0的開(kāi)區(qū)間內(nèi)的所有點(diǎn)x，如果都有f(x0)＞f(x) (或f(x0)＜f(x)),則稱(chēng)f(x) 在x=x0處取極小值(或極大值)。”
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注意這個(gè)定義與我們所讀的數(shù)學(xué)分析教科書(shū)(無(wú)論哪種) 中的定義不同(其中“f(x0)>f(x)或f(x0)<f(x)”在數(shù)學(xué)分析教科書(shū)中為“f(x0)≥f(x)或f(x0) ≤f(x)”)。編者可能說(shuō)有權(quán)改變定義,但按這樣的定義,下面的最值判定法(也在人教版中數(shù)學(xué)B 版選修1-1中) 就不成立了。
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“(1) 求函數(shù)y= f(x) 在(a,b)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)y= f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。”
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所有各版本的統(tǒng)編教科書(shū)(如有這部分內(nèi)容) 都有同樣的錯(cuò)誤，而且關(guān)于最值判定法都沒(méi)有證明。
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有些中學(xué)教師發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問(wèn)題，但他們沒(méi)敢懷疑編者。有人猜想如果要求y= f(x)在任一區(qū)間都不是常數(shù)，那么上述最值判定法還是成立的。然而這也不對(duì)，強(qiáng)毅寫(xiě)了一篇文章([Qiang2]),其中給出的例子是高階連續(xù)可微函數(shù)，在任一區(qū)間都不是常數(shù)，且極值點(diǎn)的集合中每個(gè)點(diǎn)都是極限點(diǎn)。這說(shuō)明上述教科書(shū)的錯(cuò)誤是本質(zhì)的。這篇文章投到《數(shù)學(xué)通報(bào)》被斃了，無(wú)奈那時(shí)己是保繼光當(dāng)主編。
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由于偶然的原因，我們發(fā)現(xiàn)了這些教科書(shū)一致的錯(cuò)誤的來(lái)源:工科普遍使用的同濟(jì)版微積分教科書(shū)。
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前年我參加北京市教學(xué)名師的評(píng)審，候選人中一位高校教師就是像上面那樣講極值，他自己編的教科書(shū)中也是這樣寫(xiě)的。我在討論中指出了這一問(wèn)題，有評(píng)委說(shuō)可能通用教科書(shū)中就有如此錯(cuò)誤，一查還真是如此。(后來(lái)這位候選人還是入選了，因?yàn)榇蠖鄶?shù)評(píng)委認(rèn)為這不是他的錯(cuò)。)
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統(tǒng)編教科書(shū)中沒(méi)有證明的定理很多，由本例可見(jiàn)編者在不寫(xiě)證明的時(shí)候，沒(méi)有一個(gè)人自己做過(guò)證明,甚至沒(méi)有一個(gè)人查閱過(guò)證明。大多數(shù)中學(xué)生所讀的教科書(shū),竟然是在如此不認(rèn)真的治學(xué)態(tài)度下寫(xiě)的，這實(shí)在是現(xiàn)代中學(xué)生的大不幸。
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還要說(shuō)兩點(diǎn)，上面這些例子好歹還是應(yīng)有的課程內(nèi)容，而統(tǒng)編教科書(shū)中有不少離題很遠(yuǎn)甚至根本不屬于數(shù)學(xué)的內(nèi)容，要舉這方面的例子得再寫(xiě)一篇文章; 還有如例6中那樣“通過(guò)觀察看出”之類(lèi)的所謂“探索”也很多,同樣是蒙人，要舉這方面的例子也得再寫(xiě)一篇文章。
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前兩年，圖書(shū)出版人老六將民國(guó)時(shí)期蔡元培主持編寫(xiě)的課本重印，受到很高的評(píng)價(jià)，也使得現(xiàn)行統(tǒng)編教科書(shū)受到很多詬病。不久前這些老教科書(shū)已被上傳到網(wǎng)上，但那都是語(yǔ)文方面的。博士生張楚晗建議將民國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)教科書(shū)也上傳。
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我覺(jué)得這是很值得做的。很多國(guó)人對(duì)于現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)編教科書(shū)還很崇拜，偶爾有人發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤也往往“自覺(jué)”地貶低其嚴(yán)重性。我想主要原因是沒(méi)見(jiàn)過(guò)好的，沒(méi)有比較; 次要原因是“歌德派”還很強(qiáng)勢(shì)，而領(lǐng)導(dǎo)多半喜歡聽(tīng)報(bào)喜不喜歡聽(tīng)報(bào)憂(yōu)。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的现行统编中学数学教科书有多烂的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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