HDU 5322 Hope

考慮 $ dp[n] $ 表示 長度為 $ n $ 的所有排列的答案。

首先，對于一個排列來說，如果最大值在 $ i $ 位置，那么前 $ i - 1 $ 個數必然與 $ i $ 在一個聯通塊，且必然不會與 $ i $ 后面的數字在一個連通塊。

那么考慮一種常用的排列的處理技巧，考慮將 $ n $ 插入 $ 1 \dots n-1 $ 的一個排列，比如插入的位置是 $ i $ 那么 $ i + 1 \dots n $ 相當于又是一個排列，而 $ 1 \dots i - 1 $ 的方案數是 $ A_{n-1}^{i-1} $ 所以答案就是

$ dp[n] = \displaystyle \sum_{i=1}^n A_{n-1}^{i-1} i^2 dp[n - i] $

這個式子看起來就很分治FFT。

#include <cstdio>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <cstring>

#define ll long long

using namespace std;

#define P 998244353

#define MAXN (1 << 19) + 12

int n;

int a[MAXN];

int Pow(int x,int y) {

    int res=1;

    while(y) {

        if(y&1) res=res*(ll)x%P;

        x=x*(ll)x%P,y>>=1;

    }

    return res;

}

int wn[2][MAXN];

void getwn(int l) {

    for(int i=1;i<(1<<l);i<<=1) {

        int w0=Pow(3,(P-1)/(i<<1)),w1=Pow(3,P-1-(P-1)/(i<<1));

        wn[0][i]=wn[1][i]=1;

        for(int j=1;j<i;++j)

            wn[0][i+j]=wn[0][i+j-1]*(ll)w0%P,

                    wn[1][i+j]=wn[1][i+j-1]*(ll)w1%P;

    }

}

int rev[MAXN];

void getr(int l) { for(int i=1;i<(1<<l);++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1); }

void NTT(int *A,int len,int f) {

    for(int i=0;i<len;++i) if(rev[i]<i) swap(A[i],A[rev[i]]);

    for(int l=1;l<len;l<<=1)

        for(int i=0;i<len;i+=(l<<1))

            for(int k=0;k<l;++k) {

                int t1=A[i+k],t2=A[i+l+k]*(ll)wn[f][l+k]%P;

                A[i+k]=(t1+t2)%P;

                A[i+l+k]=(t1-t2+P)%P;

            }

    if( f == 1 ) for(int inv=Pow(len,P-2),i=0;i<len;++i) A[i]=A[i]*(ll)inv%P;

}

int f[MAXN];

int A[MAXN] , B[MAXN];

int J[MAXN] , invJ[MAXN];

void CDQ(int *a,int *b,int l,int r){

    if( l == r ) return;

    int m = l + r >> 1;

    CDQ( a , b , l , m );

    int p = 1 , len = 0;

    while( p <= ( r - l + 1 ) * 2 ) p <<= 1 , ++ len;

    getr( len ) , getwn( len );

    for( int i = 0 ; i < p ; ++i ) A[i] = B[i] = 0;

    for( int i = l ; i <= m ; ++i ) A[i - l] = 1ll * a[i] * invJ[i] % P;

    for( int i = 0 ; i <= r - l ; ++i ) B[i] = 1ll * i * i % P;

    NTT( A , p , 0 ) , NTT( B , p , 0 );

    for( int i = 0 ; i < p ; ++i ) A[i] = 1ll * A[i] * B[i] % P;

    NTT( A , p , 1 );

    for( int i = m + 1 ; i <= r ; ++i ) a[i] = ( a[i] + 1ll * J[i - 1] * A[i-l] % P ) % P;

    CDQ( a , b , m + 1 , r );

}

int main() {

    J[0] = invJ[0] = 1;

    for( int i = 1 ; i < MAXN ; ++ i ) J[i] = 1ll * J[i - 1] * i % P , invJ[i] = Pow( J[i] , P - 2 );

    f[0] = 1;

    CDQ( f , a , 0 , 100006 );

    int x;

    while( cin >> x ) printf("%d\n",f[x]);

}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的HDU 5322 Hope的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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