四階龍格庫塔法(Runge-Kutta)求解微分方程

科學(xué)計算選講作業(yè) 材料學(xué)院 張曉穎 1012208027

四階龍格庫塔法(Runge-Kutta)求解微分方程

張曉穎

(天津大學(xué) 材料學(xué)院 學(xué)號：1012208027)

1 引言

計算傳熱學(xué)中通常需要求解常微分方程。這類問題的簡單形式如下：

y ' f (x ,y )

?

y (x0 ) y 0 (1 )

雖然求解常微分方程有各種各樣的解析方法，但解析方法只能用來求解一

些特殊類型的方程，實際問題中的多數(shù)微分方程需要采用數(shù)值解法求解。初值問

題(1)的數(shù)值解法有個基本特點，它們采取“步進(jìn)式”，即求解過程順著節(jié)點

排序一步一步向前推進(jìn)。這類算法是要給出用已知信息 y 、 y ……計算 y

n n ?i n +1

的遞推公式即可。

2 龍格庫塔法(Runge-Kutta)介紹

假設(shè)對于初值問題(1)有解 y = y (x ) ，用 Taylor 展開有：

h2 h3

? ?? ???

y (x ) y (x ) ?hy (x ) ? y (x ) ? y (x ) ? (2 )

n?1 n n n n

2! 3!

龍格庫塔法(Runge-Kutta)實質(zhì)上是間接的使用 Taylor 級數(shù)法的一種方

y (x ) ?y (x )

法。對于差商 n?1 n ，根據(jù)微分中值定理，存在 0 < θ < 1 ，使得：

h

y (x ) ?y (x )

n?1 n ? (3)

y (x ??h)

h

于是對于 y = y (x ) ，可得到：

y (x ) y (x ) ?hf (x ??h,y (x ??h)) (4 )

n?1 n n n

設(shè)K * f (xn ??h,y (xn ??h)) ，為區(qū)間 [x n , x n +1 ] 上的平均斜率。四階龍

K *

格庫塔格式中的 由下式計算得到：

1

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? h

y n?1 y n ? (K 1 ?2K 2 ?2K 3 ?K 4 )

? 6

總結(jié)

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