目錄

1. 題目

2. 算法原理

3. 代碼

4. 結果

4.1 運行結果

4.2 結果分析

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直接通過解題的方式進行學習，代入感更強

1. 題目

用經典四階龍格庫塔方法對初值問題，步長分別取求解，觀察穩定區間的作用。

2. 算法原理

某些常微分方程有解析解，但大多數都沒有，因此需要進行數值解計算。

龍格—庫塔法是利用f(x,y)在某些特殊點上的函數值的線性組合，來估算高階單步法的平均斜率。

經典的龍格—庫塔法是四階的，也就是在中用四個點處的斜率來估計其平局斜率，構成四階龍格—庫塔公式

其準確解y(x)在一系列點xi處y（xi）的近似值yi的方法，yi稱為數值解。經典的四階龍格庫塔法方程如下：

其中：

其中的各個參數具體如下：

其整合之后為：

其中h為步長。

3. 代碼

clear; clc;for step = [0.1, 0.2]x_0 = 0;y_0 = 1;num = floor(1/step);n = 1;X_output = [0];Y_output = [1];disp("y'= -20 * y")while n <= numx_1 = x_0 + step;K_1 = step * fun(x_0,y_0);K_2 = step * fun(x_0 + step/2, y_0 + K_1/2);K_3 = step * fun(x_0 + step/2, y_0 + K_2/2);K_4 = step * fun(x_0 + step, y_0 + K_3);y_1 = y_0 + (K_1 + 2 * K_2 + 2 * K_3 + K_4) / 6 ;X_output = [X_output x_1];Y_output = [Y_output y_1];x_0 = x_1;y_0 = y_1;n = n + 1;endfigure()plot(X_output,Y_output)xlabel('x')ylabel('y')title(['Runge-Kutta4階,步長為：', num2str(step)])X_outputY_outputclear X_output Y_output end[x,y] = ode45('fun', [0:1], 1); figure() plot(x,y) xlabel('x') ylabel('y') title('自帶函數求解結果')function dy = fun(x, y) dy = - 20*y; end

4. 結果

4.1 運行結果

Step = 0.1 時X_output = 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000Y_output = 1.0000 0.3333 0.1111 0.0370 0.0123 0.0041 0.0014 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000Step = 0.2時 X_output = 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000Y_output = 1 5 25 125 625 3125

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4.2 結果分析

用經典四階龍格庫塔方法求解,其求解結果與設置得步長有很大的相關性，步長設置合適時，其求解情況與真實值基本一致，趨于穩定。但步長加大時，其求解值與真實值相差太大。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的Matlab之四阶龙格—库塔法方法：解常微分初值问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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