提要

運用頻率響應法，進一步討論系統的穩定性。結合伯德圖和奈奎斯特圖，介紹增益裕度、相角裕度和帶寬等的概念，研究頻域內的穩定性判別方法——奈奎斯特穩定性判據。討論時間延遲環節對控制系統穩定性和性能指標的影響（引入了附加的滯后相角，因而有可能導致條件穩定系統失穩）

收獲

（1）掌握奈奎斯特穩定性判據和奈奎斯特圖的作用；

（2）熟悉系統時域性能的頻域表示方法；

（3）理解在反饋控制系統設計中，考慮時間延遲環節的重要性；

（4）能夠使用頻率響應法分析反饋控制系統的相對穩定性和性能，包括系統的增益裕度、相角裕度和帶寬等；

（5）理解頻域的性能指標，以及用增益裕度和相角裕度表示的系統的相對穩定性。

一. 基本概念

再次討系統的穩定性

分析一個控制系統時，首先看它地穩定性。如果系統穩定，還應該考察它的相對穩定性。

前述關于穩定性的判定：勞斯-赫爾維茨判據基于特征方程判斷系統的穩定性；

前述關于系統相對穩定性的方法：根軌跡

這兩種方法都是基于復變量

的復頻域分析方法；而在頻域穩定性分析中，則是在實頻域中研究系統的穩定性，采用大方法是頻域響應法。

2. 奈奎斯特穩定性判據

奈奎斯特穩定性判據是研究線性系統（齊次性、疊加性）相對穩定的基本方法，它的理論基礎是復變函數中柯西（Cauchy）定理。

3. 圍線映射

在頻域穩定性中關心的是由函數 F(s) 誘導的圍線映射，它是指，利用關系函數 F(s) ，將一個復平面上的閉合曲線或軌跡映射轉換到另一個平面。例如當 F(s) = 2s+1 時，函數 F(s) 將 s平面上的閉合曲線映射到了 F(s) 平面上，于是有

即實際上進行的變換是

和

典型的映射函數 F(s) 都是有理函數。

4. 保角映射

s 平面的圍線映射到 F(s) 平面之后，圍線上的角度保持不變，這種映射稱之為保角映射。

5. 柯西定理/相角原理

如果閉合曲線

以順時針方向為正方向，在 s 平面上包圍了 的 個零點和 個極點，但不經過任何一個零點或極點，那么對應的映射曲線也以順時針方向為正方向，并且在平面上包圍原點 （ ）周（如果 N 是一個負數，則表示的是曲線為逆時針圍繞）。

6. 奈奎斯特穩定性判據表述1

當

在 s 右半平面內沒有極點（P=0）時 ，閉環反饋控制系統穩定的充要條件是： 平面上的映射像圍線 不包圍（-1，0）點。

7. 奈奎斯特穩定性判據表述2

閉環反饋控制系統穩定的充要條件是：

平面上的映射像圍線 包圍（-1，0）點的周數，等于在右半平面內極點的個數（即表現為還是無零點）

8. 基本判定的思路小結

研究閉環控制系統的相對穩定性，考察閉環系統的特征方程為

，而為了保證系統的穩定性，必須要求 的零點（為閉環控制系統傳遞函數的極點）全部位于s 左半平面，因此為了檢驗 s 平面的右半平面是否存在零點（存在即不穩定）。需要使用 s 平面上的圍線映射和柯西定理/相角原理。

則應用柯西定理，可以判斷 F(s) 不穩定的零點個數為

（注因為是使用的右半平面進行映射）。常見的當P=0時，則系統不穩定的特征根的個數 Z 就等于 （稱為奈奎斯特圖或者極坐標圖）包圍原點的周數。

而又考慮到

，其中開環傳遞函數 本身就是具有因式乘積的形式，如果是使用 進行映射，還需要重新進行因式分解得到零點和極點，故為了避免麻煩，可以直接使用函數 進行映射，變換之后的圍繞的點由原點變為（-1，0）點 。

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二. 基本知識回顧

相對穩定性

在 s 平面上，使用勞斯穩定性判據判定系統的穩定性，用每個或者每對閉環特征根的相對調節時間（或衰減因子、或實部絕對值）來衡量系統的相對穩定性；系統的調節時間越短，相對穩定性就越好；

使用頻率響應法時，奈奎斯特穩定性判據所提供的信息既能用于判斷閉環系統的絕對穩定性，也能用于定義和評價系統的相對穩定性。即在奈奎斯特穩定性判據中，關注的焦點是開環傳遞函數（

）極坐標圖中的（-1，0）點，或者伯德圖上的 0 dB 線和 線。因此可以用 極坐標圖與這個臨界穩定特征點的接近程度，來衡量閉環系統的相對穩定性。

指標一：增益裕度：

當

的相角為 時（此時有虛部 ）， 幅值的倒數，常用對數形式表示。

揭示的內涵是：在系統達到臨界穩定之前，系統增益容許的放大倍數。系統到達臨界穩定時，奈奎斯特圖將在相角為

時，與實軸相較于 點

指標一：相角裕度：

定義：為了使極坐標曲線的單位幅值點（

）通過 L(jw) 平面上的（-1，0）點，極坐標曲線 L(jw) 繞原點旋轉所需要的旋轉相角；

揭示的內涵是：在系統達到臨界穩定之前，L(jw) 的單位幅值點所允許的相移量。系統到達臨界穩定時，奈奎斯特圖將在相角為

時，與實軸相交與 -1+j0 點

2. 相對穩定性的表示

與極坐標曲線相比較，更愿意使用開環伯德圖，并且利用伯德圖也可以方便地得到增益裕度和相角裕度

在伯德圖上，根據幅頻特性曲線與 0 dB增益線的交點，就可以在相頻特性曲線的對應頻率點上，估計得到系統的相位裕度；觀察相頻特性曲線與

相角線的交點，就可以在幅頻特性曲線的對應點上，估計得到系統的增益裕度。

盡管增益裕度和相角裕度同樣是系統的性能指標，但我們通常更多的使用相角裕度。

3. 最小相位系統和非最小相位系統判定的區別

當系統為最小相位系統（系統的零點全部在左半平面）時，可以簡單地直接考察奈奎斯特圖（極坐標曲線）來判定系統的翁定性指標；可以用計算機程序直接估算增益裕度和相角裕度。

而當系統為非最小相位系統時，就必須謹慎小心一些，只有考察完整的奈奎斯特圖，才能確定系統的穩定性指標

4. 看度說話

通過伯德圖，當幅值增益為 0 dB 時，對應的相角為

，因此系統的相角裕度為 ，而當相角為 時，對應的幅值增益為 ,于是系統的增益裕度為 15 dB。

5. 頻域響應和時域響應的聯系

對于一個二階系統，建立欠阻尼系統的相角裕度與阻尼系數

之間的關系為

另一頻域指標，閉環頻率響應的最大幅值

，二階系統的諧振峰值和阻尼系數的關系 ，希望能夠由開環頻率響應得到閉環頻率響應。

怎么做呢？

在單位負反饋的情況下，利用閉環頻率響應的等幅值圓，可以在幅相圖中確定

和 等關鍵的性能指標。閉環頻率響應的等幅值圓又稱為等M圓。如果不是單位負反饋，需要將閉環傳遞函數形式化為單位負反饋的形式 ，即通過單位負反饋的開環頻率特性函數來進行判斷。

判定方法為：

得到系統的閉環頻率響應，如果只需要確定

,還可以直接在極坐標上完成這個任務。實際上，如果開環頻率響應極坐標圖 與等M圓相切，則該M就是閉環諧振峰值 ,對應的頻率 就是系統的諧振頻率。

等M圓和等N圓適用于在極坐標平面上分析和設計控制系統，由于更容易得到系統的開環伯德圖或對數幅相圖，我們更愿意將等M圓和等N圓轉換為對數幅值的形式，這稱為尼克爾斯圖。

6. 系統帶寬

閉環控制系統的帶寬是度量系統的信號復現能力的最好參數。定義是對低頻段增益為 0dB的系統，其帶寬定義為幅值增益下降至-3 dB 時對應的頻率。在通常情況下，它與階躍響應速度成正比，與調節時間成反比。因此，在保證系統合理構成的前提下，我們總是希望系統具有較大的帶寬。

7. 時延系統的穩定性

時延環節會影響反饋系統的穩定性，幸運的是，可以用奈奎斯特穩定性判據來確定延時環節對反饋系統穩定性的影響。它的傳遞函數表示為

，沒有引入新的零點或極點，故不會改變原有系統的幅頻特性曲線，而只會導致一個附加的相移。它的相移為

取舍：由于實際的反饋系統難免含有時延環節，因此為了確保系統穩定，必須減小系統增益，但是減小增益將會增大系統的穩態誤差。因此在增強實驗系統的穩定性的同時，付出了增大穩態誤差的代價。

8. 帕德近似

帕德近似，指定一個給定階次的待定有理函數來近似

對比麥克勞林級數

和

對比系數可以得到

令

,得到

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三. matlab指令計算

使用的函數有nyquist，nichols，pade，ngrid，margin

使用nyquist繪制奈奎斯特曲線

前向通道的傳遞函數為

的單位負反饋閉環控制系統的奈奎斯特圖% The nyquist function with manual scaling using the% axis function. The transfer function is%% 0.5 % G(s) = ---------------------------% s^3 + 2 s^2 + s + 0.5%num=[0.5]; den=[1 2 1 0.5 ];sys=tf(num,den);nyquist(sys);

2. 使用margin函數繪制伯德圖，并標注增益裕度和相角裕度

% The margin function. The transfer function is%% 0.5 % G(s) = ---------------------------% s^3 + 2 s^2 + s + 0.5%num=[0.5]; den=[1 2 1 0.5];sys=tf(num,den);margin(sys);

3. 結合1.2，繪制奈奎斯特曲線并標注增益裕度和相角裕度

% The Nyquist plot of%% 0.5 % G(s) = ---------------------------% s^3 + 2 s^2 + s + 0.5%% with gain and phase margin calculation.%num=[0.5]; den=[1 2 1 0.5 ]; sys=tf(num,den);%[mag,phase,w]=bode(sys);[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,phase,w);%nyquist(sys);title(['Gm = ',num2str(Gm),' Pm = ',num2str(Pm)])

4. 使用nichols來繪制尼克爾斯圖

ngrid可以在尼克爾圖中繪制網格坐標

% The Nichols chart of%% 1 % G(s) = ------------------------- .% 0.2 s^3 + 1.2 s^2 + s %%num=[1]; den=[0.2 1.2 1 0 ];sys=tf(num,den);w=logspace(-1,1,400);nichols(sys,w);ngrid

5. 使用伯德圖來設計控制系統

考慮一個液壓 控制系統的開環傳遞函數：

首先使用帕德近似，系統時延為T=1，近似的階數取n=2，然后繪制增益裕度和相角裕度。

初始值K=31.5

% The Bode plot of the liquid level control system with% gain and phase margin. The gain K must be input at the% command level before executing this m-file. Automatic% labeling of the plot with gain and phase margin.%% Liquid Control System Analysis%[np,dp]=pade(1,2);sysp=tf(np,dp);num=K; d1=[1 1]; d2=[30 1]; d3=[1/9 1/3 1];den=conv(d1,conv(d2,d3));sysg=tf(num,den);sys=series(sysp,sysg);%margin(sys);

當K換成16時，驗證系統的相角裕度滿足了設計要求使相位裕度達到

6. 遙控偵探車的控制系統設計

考慮一個開環傳遞函數為

，閉環傳遞函數為 該系統的設計目標是使系統的階躍響應具有較小的穩態誤差和超調量。

則首先考慮單位階躍響應的穩態誤差

再用頻域方法考慮階躍響應的超調量，若要求超調量小于50%，則近似地應該有

,于是可以得到 ,可以根據二階系統中的公式

,可以知道

使用matlab計算閉環系統的伯德圖

% Remotely controlled vehicle closed-loop system% Bode plot for K=4.44, 10, and 20.%w=logspace(0,1,200); K=[20,10,4.44];%for i=1:3numgc=K(i)*[1 2]; dengc=[1 1]; sysgc=tf(numgc,dengc);numg=[1]; deng=[1 2 4]; sysg=tf(numg,deng);syss=series(sysgc,sysg); sys=feedback(syss,[1]);[mag,phase,w]=bode(sys,w);mag_save(i,:)=mag(:,1,:);end%loglog(w,mag_save(1,:),w,mag_save(2,:),w,mag_save(3,:))xlabel('Frequency (rad/sec)'), ylabel('Magnitude'), grid on

使用matlab計算K=4.44，10，20的情況下的階躍響應。

% Remotely controlled vehicle closed-loop system% step response for K=4.44, 10, and 20.%t=[0:0.01:10]; K=[20,10,4.44];%for i=1:3numgc=K(i)*[1 2]; dengc=[1 1]; sysgc=tf(numgc,dengc);numg=[1]; deng=[1 2 4]; sysg=tf(numg,deng);syss=series(sysgc,sysg);sys=feedback(syss,[1]);y(:,i)=step(sys,t);end%plot(t,y(:,1),t,y(:,2),t,y(:,3)),gridxlabel('Time (sec)'), ylabel('y(t)')

可以根據階躍響應的超調量來確定增益K=20，K=10，K=4.44，也可以根據尼克爾斯圖來完成系統的設計

% Remotely controlled vehicle system Nichols chart % for K=4.44, 10, and 20.%numgc=[1 2]; dengc=[1 1]; sysgc=tf(numgc,dengc);numg=[1]; deng=[1 2 4]; sysg=tf(numg,deng);sys=series(sysgc,sysg);%w=logspace(-1,1,200);%K=[20, 10, 4.44];hold off, clffor i=1:3nichols(K(i)*sys,w), ngridhold on end legend('K=20','K=10','K=4.44')

最后確定將增益的設計值選定為K=10，再繪制奈奎斯特圖確定系統的相對穩定性，最終得到的增益裕度為G.M.=49.56 dB ,相角裕度為 P.M. =

% Remotely controlled vehicle system Nyquist chart % for K= 10 with automatic labeling of gain and% phase margin.%numgc=10*[1 2]; dengc=[1 1]; sysgc=tf(numgc,dengc);numg=[1]; deng=[1 2 4]; sysg=tf(numg,deng);%sys=series(sysgc,sysg);%[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys);%nyquist(sys);title(['Gm = ',num2str(Gm),' Pm = ',num2str(Pm)])

7. 循序漸進實例

考慮一個PD控制器

，前向通道：

電機線圈

支撐臂

簧片與磁頭

閉環控制系統為單位負反饋。

取K=400，則通過繪制伯德圖，求增益裕度和相角裕度，以及階躍響應。

K=400;nc=K*[1 1]; dc=[0 1]; sysc=tf(nc,dc);nm=[5]; dm=[0.001 1]; sysm=tf(nm,dm);na=[0.05]; da=[0.05 1 0]; sysa=tf(na,da);ng=[1]; dg=[1/18850^2 2*0.3/18850 1]; sysg=tf(ng,dg);syso=series(sysc,series(sysm,series(sysa,sysg)))figure(1)margin(syso)

通過繪制伯德圖可以得到系統的增益裕度為22.9 dB，相角裕度為

，

從階躍響應曲線可以知道，調節時間為

總結

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