Monte Carlo Algorithms

Calculating Pi

• 假設(shè)我們有一個(gè)隨機(jī)數(shù)生成器，它可以隨機(jī)生成[-1,1]之間的實(shí)數(shù)，我們每次生成兩個(gè)隨機(jī)數(shù)，一個(gè)作為x，一個(gè)作為y，這樣我們就有了一個(gè)點(diǎn)，所有的點(diǎn)都會(huì)落在藍(lán)色的正方形里面，由于x和y都是在[-1,1]之間均勻分布，所以正方形中所有的點(diǎn)都有相同的概率密度，正方形中包含一個(gè)綠色的原，半徑為1，圓心是原點(diǎn)。剛剛隨機(jī)生成的點(diǎn)可能會(huì)落在圓里面，可能會(huì)落在圓外面。這里我們不難得到落在圓中的概率為$\frac{\pi }{4}$。

• 假設(shè)我們?cè)谡叫螀^(qū)域中隨機(jī)抽樣n個(gè)點(diǎn)，那么點(diǎn)落在圓中的期望就是$Pn=\frac{\pi n}{4}$??。當(dāng)然這里只是期望，可能我們抽五個(gè)點(diǎn)，他們都不在圓中。
  

• 那么我們?cè)趺磁袛帱c(diǎn)是不是在圓中呢？我們可以使用圓的方程可以得到下面一個(gè)不等式：$x^2+y^2\le 1$

• 假設(shè)我們均勻隨機(jī)抽樣n個(gè)點(diǎn)，通過(guò)上述不等式，我們發(fā)現(xiàn)有m個(gè)點(diǎn)在圓中。如果我們的抽樣n非常大，這樣我們就可以觀測(cè)到$m\approx \frac{\pi n}{4}$，所以我們得到$\pi \approx \frac{4m}{n}$。大數(shù)定律保證蒙特卡洛的正確性，當(dāng)$n\to \infty$?，$\frac{4m}{n}\to \pi$。

• 這樣我們可以得出結(jié)論，當(dāng)我們?cè)谡叫沃须S機(jī)抽樣n個(gè)點(diǎn)，有m個(gè)點(diǎn)落在圓中，我們就可以將$\pi$近似為$\frac{4m}{n}$??。這里我們需要保證抽樣是均勻的，抽到所有點(diǎn)的概率都相同，否則就不成立。
  

Buffon’s Needle Problem

• 這也是一個(gè)計(jì)算Pi的例子，通過(guò)畫(huà)幾條平行線，然后撒一把針，通過(guò)針與平行線相交的個(gè)數(shù)可以推算出pi。
  • 先畫(huà)一些平行線，兩個(gè)平行線之間的距離為d
  • 取一些針，針的長(zhǎng)度為l。
  • 隨機(jī)把針拋到紙上，針的長(zhǎng)度是l，針可能與平行線相交也可能不相交。
  • 假設(shè)針的位置和角度都是均勻隨機(jī)的，那么針和平行線有一定概率相交，通過(guò)微積分可以計(jì)算出相交的概率為$P=\frac{2l}{\pi d}$?。
    
• 上面我們得到了針與平行線相交的概率$ P=\frac{2l}{\pi d}$??，這樣我們就可以得到期望$Pn = \frac{2ln}{\pi d}$，這樣我們不難計(jì)算$\pi \approx \frac{2ln}{dm}$?

近似求積分

• 假設(shè)給我們一個(gè)函數(shù)：$f(x)=\frac{1}{1+sin(x)?(lo{g}_{e}x{)}^2}$

• 計(jì)算定積分：$I={\int }_{0.8}^{3}f(x)dx$

• 這個(gè)函數(shù)太復(fù)雜了我們沒(méi)有辦法求它的定積分，這時(shí)候我們就需要用數(shù)值方法近似求它的定積分了，蒙特卡洛就是最常用的數(shù)值方法。

  • 我們首先在[0.8,3]上均勻隨機(jī)抽樣n個(gè)樣本
  • 然后我們計(jì)算n個(gè)樣本的函數(shù)值
  • 然后用$Q_n=(b?a)?\frac{1}{n}{\Sigma }_{i=1}^{n}f(x_i)$
  • 然后就可以使用$Q_n$來(lái)近似定積分。

• 剛剛計(jì)算的是一元函數(shù)的定積分，下面我們看看多元函數(shù)的定積分

  • 假設(shè)f(x)是一個(gè)多元函數(shù)，自變量是向量x
  • 計(jì)算函數(shù)在集合$\Omega$上的定積分：$I={\int }_{\Omega }f(x)dx$
    • 從集合$\Omega$中隨機(jī)抽樣n個(gè)向量
    • 計(jì)算$\Omega$集合的體積：$V={\int }_{\Omega }dx$
    • 然后計(jì)算$Q_n=V?\frac{1}{n}{\Sigma }_{i=1}^{n}f(i)$
    • 然后我們使用$Q_n$來(lái)近似定積分

近似求期望

• 定義X為d維的隨機(jī)變量

• P(x)為概率密度函數(shù)，它描述了變量X在某個(gè)點(diǎn)附近取值的可能性。有這樣的性質(zhì)：${\int }_{{\mathbb{R}}^d}p(x)dx=1$
  

• 使用蒙特卡洛來(lái)近似求期望

  • 根據(jù)概率密度函數(shù)$p(x)$來(lái)隨機(jī)抽樣
  • 計(jì)算每個(gè)樣本$f(x_i)$的值，然后求所有n個(gè)函數(shù)值的平均，將平均值記為：$Q_n$
  • 使用$Q_n$作為期望的估計(jì)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的蒙特卡洛近似的一些例子的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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