一、快速冪

例題：杭電oj2035

求A^B的最后三位數表示的整數。說明：A^B的含義是“A的B次方”

由于當b很大時，時間復雜度高，所以要快速冪

*關于取模運算的性質：

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）(a - b) % p = (a % p - b % p ) % p （2）(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

快速冪算法的核心思想就是每一步都把指數分成兩半，而相應的底數做平方運算。這樣不僅能把非常大的指數給不斷變小，所需要執行的循環次數也變小，而最后表示的結果卻一直不會變。

? 不是解答，是我自己隨便寫的板子a,b=31,100000 mid=1 #用來接收盛放奇數冪的底數 mod=10*8+9 while b>0:if b%2: #奇數的處理b=b-1mid=mid*ab=b/2a=a**2%modelse:b = b / 2 #冪減少一半，底數翻倍a = a ** 2 % mod print(mid*a%mod)?

二、線性篩

原理并不復雜，但需要看下最后一句

n = int(input()) st = [True]*(n+1) cnt = 0 primes = [] for i in range(2, n+1):if st[i]:cnt += 1primes.append(i)for p in primes:if i*p>n:break #防止越界st[p*i] = Falseif i % p == 0:break #這樣就保證了每個合數被自己的最小質因數所篩，不重復，減少時間復雜度

解釋下最后一句：舉個例子 ：i = 8 p=2，如果不跳出循環，那么再次循環時，p=3，所得的8 * 3 ?= 2 * 12，在i = 12時會計算再計算一遍24

三、逆元

逆元概念：在mod某個數意義下的倒數。例如5x≡1（mod3），x=2是滿足10=1（mod3），所以稱2是5在mod3意義下的逆元。記為inv（a，p）

需要注意只有a和p互質，a才有關于p的逆元

四大求逆元的方法

·費馬小定理

定理概念：在p是素數的前提下滿足：

稍作變形，有：

即a的p-2次方，便是我們所求。

a,p=3,5 #求a mod p 的逆元，也就是求a的p-2次方 mid=1 p=p-2 while p:if p%2:p=p-1mid=mid*ap=p/2a=a**2continueelse:p = p / 2a = a ** 2 print(mid*a) q=3*2187 print(q%5)輸出： 2187 1

·歐拉定理

對于素數p，有：

其中，指數是p的歐拉函數值，也就是小于p的與p互質的數（只有1這一個約數）

類似的變換有：

對于歐拉函數：

其中pi是n的所有質因數：

例如：φ ( 10 ) 的質因數為2，5，所以φ ( 10 ) = 10 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5) = 4(1,3,5,7這四個數)

φ (24)的質因數為2，3，所以φ (24)=24* (1 - 1/2) * (1 - 1/3)=8（1,5,7，11,13,17,19,23這八個數）

歐拉函數性質：

1，若n為質數，則φ ( n ) = n - 1;
2，若m與n互質，則φ ( n*m ) = φ ( n ) * φ ( m );
3，若正整數n與a互質，那么就有：
4，若n為奇數時，φ ( 2n ) = φ ( n );
5，若n = pk且p是質數，那么φ ( n ) = (p - 1) * pk-1 = pk - pk-1.

代碼基于快速冪，不再寫了

線性遞推求逆元

略

擴展歐幾里得求逆元

如果gcd（a，p）=1；
那么就有ax+py=1
雙方同時modp
就有ax≡1（modp）
因為py是p的倍數全部約掉了
此時x就是a的逆元
所以只需解出該情況下的擴展歐幾里得方程的解問題就解決了

def ext_gcd(a,b):if not b :return 1,0,aelse:x,y,gcd=ext_gcd(b,a%b)x,y=y,(x-(a//b)*y)return x,y,gcd x,y,gcd=ext_gcd(7,6) print(x,y,gcd)返回值： 1 -1 1

后續更新：

擴展歐幾里得求ax+by=gcd（a，b）*k

以及通解

四、擴展中國剩余

用于求解模運算方程組，eg：

x=a1?x1+b1（1） x=a2?x2+b2（2） x=a2?x2+b2（3）

對于一式和二式，消x得：

a1*x1+a2*x2=b1-b2(因為x是未知量，符號不考慮）

利用擴展歐幾里得求x1，得到 ：

k=a1*x1+b1

于是我們得到新式子：

x≡k(mod? lcm(a1,a2))

等價于：x=lcm(a1,a2)*x' +k? (4)

同理聯立（3） 和 （4）就能得到解

def ext_gcd(a,b):if not b:x,y=1,0return x,y,ax,y,gcd=ext_gcd(b,a%b)x,y=y,(x-(a//b)*y)return x,y,gcd n=3 nums=[[3,2],[5,3],[7,2]] while len(nums)>1:mid=nums.pop()a1,b1=mid[0],mid[1]mid=nums.pop()a2, b2 = mid[0], mid[1]mid1,mid2,mid3=ext_gcd(a1,a2)q=abs(b1-b2)mid1,mid2=mid1*(q/mid3),mid2*(q/mid3)k=mid1*a1+b1lcm=a1*a2/mid3nums.append([lcm,k]) print(int((mid1*a1+b1)%lcm))

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数论入门（python）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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