楊輝三角的基本概念

楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現

特點

每個數等于它上方兩數之和。

每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大。

第n行的數字有n項。

第n行的m個數可表示為 C(n-1，m-1)，即為從n-1個不同元素中取m-1個元素的組合數。

第n行的第m個數和第n-m+1個數相等 ，為組合數性質之一。

每個數字等于上一行的左右兩個數字之和。可用此性質寫出整個楊輝三角。即第n+1行的第i個數等于第n行的第i-1個數和第i個數之和，這也是組合數的性質之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。

(a+b)n的展開式中的各項系數依次對應楊輝三角的第(n+1)行中的每一項。

將第2n+1行第1個數，跟第2n+2行第3個數、第2n+3行第5個數……連成一線，這些數的和是第4n+1個斐波那契數；將第2n行第2個數(n>1)，跟第2n-1行第4個數、第2n-2行第6個數……這些數之和是第4n-2個斐波那契數。

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Python的三種實現方法

方法一

• 將楊輝三角每次計算時，都抽象成每行后面先增加一個0

• 于是本行第i個元素就等于上一行的(i-1)個元素和i元素的和（每行第0個元素是上一行抽象后的第0個元素和第(0-1)個元素，即抽象出來的0與1的和）

• 抽象出來的0為下一行提供足夠的遍歷次數

  [1, 0] [1, 1, 0] [1, 2, 1, 0] [1, 3, 3, 1, 0] [1, 4, 6, 4, 1, 0]

代碼：

def triangles():row = [1]while True:yield rowrow.append(0) # 補零以便于計算下一行數據row = [row[i - 1] + row[i] for i in range(len(row))] # 通過本行相鄰兩個數據相加獲得下一行的數據if __name__ == '__main__':t = triangles()for i in range(6):print(next(t))

結果：

[1] [1, 1] [1, 2, 1] [1, 3, 3, 1] [1, 4, 6, 4, 1] [1, 5, 10, 10, 5, 1]

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方法二

• 循環內的遍歷從1開始，即從代碼開頭定義每行的初始值為1，后續不再改變
• 由第二個元素開始，每行元素為上一行對應位置和前一位置元素的和
• 每行最后一個元素都為1，直接最后添加即可

代碼：

def triangles():row = [1]while True:yield rowfor i in range(1, len(row)):row[i] = pre_line[i] + pre_line[i - 1] # 本行第 i 個元素為上一行的 i 元素與 i-1 元素相加row.append(1) # 本行最后需要補元素 1pre_line = row[:] # 復制本行, 用于計算下一行數據if __name__ == '__main__':t = triangles()for i in range(6):print(next(t))

結果：

[1] [1, 1] [1, 2, 1] [1, 3, 3, 1] [1, 4, 6, 4, 1] [1, 5, 10, 10, 5, 1]

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方法三

• 此方法相對較復雜，它在列表內嵌套列表形成二維列表，楊輝三角的每行為二維列表的一個列表元素
• 函數遍歷楊輝三角的每一行，單獨計算該行的每一個元素，其中每個元素為上一行同位置的元素和前一個元素之和
• 上一行元素在函數中表現為二維列表的前一個元素
• 該行首尾計算時，分別抽象為前后多一個零進行計算

代碼：

def triangles (line):result = [[1]]for row in range(1, line): # for 循環計算楊輝三角一共多少行current_row = []for column in range(row+1): # for 循環計算當前行一共多少個元素if column == 0:upper_former_param = 0 # 計算此行的第一個元素, 則它上一行的前一個元素為 0else:upper_former_param = result[row-1][column-1] # 獲得此行元素在上一行的前一個元素if column == len(result[row-1]):upper_param = 0 # 計算此行的第一個元素, 則它上一行同樣位置的元素為 0else:upper_param = result[row-1][column] # 獲得此行元素在上一行同樣位置的元素param = upper_former_param + upper_param # 此行的元素為上一行同樣位置及其前一個位置的和current_row.append(param) # 將該元素添加到這一行result.append(current_row) # 將這一行添加到結果中return resultif __name__ == '__main__':print(triangles(6))

結果：

[[1], [1, 1], [1, 2, 1], [1, 3, 3, 1], [1, 4, 6, 4, 1], [1, 5, 10, 10, 5, 1]]

總結

以上是生活随笔為你收集整理的杨辉三角的几种 Python 实现方法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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