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编程问答

矩阵乘积的秩定理

發(fā)布時(shí)間：2023/12/31 编程问答 30 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了矩阵乘积的秩定理小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

矩陣乘積的秩定理

兩個(gè)矩陣乘積的秩不大于其每個(gè)因子的秩；特別的當(dāng)其中一個(gè)因子可逆時(shí)，那么乘積的秩等于另一個(gè)因子的秩。

證明

假設(shè) A是一個(gè)m x n的矩陣，B是一個(gè)n x s的矩陣， r是A的秩。若 $s<rs\lt r$ ,自然秩 $\le 秩A$ .
所以主要討論 $s≥rs\ge r$ , 通過對A進(jìn)行初等變換可以得到
$E1E2...EpAEp+1...Eq=A￣=(Ir000)E_1E_2...E_pAE_{p+1}...E_q = \overline A = \left( \begin{array}{ccc} I_r\ \ 0\\ 0\ \ 0 \end{array} \right)$
$E1E2...EpAB=E1E2...EpAEp+1...EqEq?1...Ep+1?1Ep?1B=A￣B￣E_1E_2...EpAB = E_1E_2...E_pAE_{p+1}...E_q E_q^{-1}...E_{p+1}^{-1}E_p^{-1}B = \overline A\ \overline B$
$A￣B￣=(B￣r000)\overline A\ \overline B = \left( \begin{array}{ccc} \overline B_r\ &0\\ 0\ &0 \end{array} \right)$
所以秩 $A￣B￣≤r\overline A\ \overline B \leq r$ ,而秩 $AB=秩(E1E2...EpAB)=秩A￣B￣AB=秩(E_1E_2...EpAB)=秩\overline A\ \overline B$ ,所以秩 $AB≤r=秩AAB\leq r = 秩A$ .
對B進(jìn)行初等變換，易知秩 $AB≤秩BAB\leq 秩B$ .
而當(dāng)A可逆時(shí)， $B = A^{-1}AB = A^{-1}(AB)$ ,所以秩 $B≤秩ABB\leq 秩AB$ ，而秩 $AB≤秩BAB\leq 秩B$ , 所以秩AB=秩B.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵乘积的秩定理的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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