矩陣由兩個(gè)子矩陣的列向量構(gòu)成，則秩小于等于子矩陣秩之和， $rank(AB)\le rankA+rankB$ 。令矩陣 $A$ 列向量組為 $A=[{\mathbf{a}}_1,?,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}]$ ，矩陣 $B$ 列向量組為 $B=[{\mathbf{b}}_1,?,{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}}]$ ，則 $rank(AB)$ 等于向量組 $[{\mathbf{a}}_1,?,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}},{\mathbf{b}}_1,?,{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}}]$ 張成空間的維度，其維度顯然小于等于矩陣 $A$ 列向量組張成空間維度與矩陣 $B$ 列向量組張成空間維度之和，故不等式成立 。 什么時(shí)候取等號(hào)呢？顯然矩陣 $A$ 列向量組的極大無(wú)關(guān)組和矩陣 $B$ 列向量組的極大無(wú)關(guān)組互相不能表示時(shí)，它們張成的列空間只在原點(diǎn)相交。

矩陣由兩個(gè)子矩陣的行向量構(gòu)成，則秩小于等于子矩陣秩之和， $rank(\left[\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right])\le rankA+rankB$ 。令矩陣 $A$ 行向量組為 $A=[{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}1}^{\mathbf{T}},?,{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}\mathbf{m}}^{\mathbf{T}}]$ ，矩陣 $B$ 行向量組為 $B=[{\mathbf{b}}_{\mathbf{r}1}^{\mathbf{T}},?,{\mathbf{b}}_{\mathbf{r}\mathbf{n}}^{\mathbf{T}}]$ ，則 $rank(\left[\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right])$ 等于行向量組 $[{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}1}^{\mathbf{T}},?,{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}\mathbf{m}}^{\mathbf{T}},{\mathbf{b}}_{\mathbf{r}1}^{\mathbf{T}},?,{\mathbf{b}}_{\mathbf{r}\mathbf{n}}^{\mathbf{T}}]$ 張成空間的維度，其維度顯然小于等于矩陣 $A$ 行向量組張成空間維度與矩陣 $B$ 行向量組張成空間維度之和，故不等式成立 。什么時(shí)候取等號(hào)呢？顯然矩陣 $A$ 行向量組的極大無(wú)關(guān)組和矩陣 $B$ 行向量組的極大無(wú)關(guān)組互相不能表示時(shí)，它們張成的行空間只在原點(diǎn)相交。

矩陣和的秩小于等于矩陣秩之和，即 $rank(A+B)\le rankA+rankB$ 。
證：令矩陣 $A$ 列向量組為 $A=[{\mathbf{a}}_1,?,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}]$ ，矩陣 $B$ 列向量組為 $B=[{\mathbf{b}}_1,?,{\mathbf{b}}_{\mathbf{n}}]$ ，則 $rank(A+B)$ 等于向量組 $[{\mathbf{a}}_1+{\mathbf{b}}_1,?,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{n}}]$ 張成空間的維度，其維度顯然小于等于矩陣 $A$ 列向量組張成空間維度與矩陣 $B$ 列向量組張成空間維度之和，故不等式成立。什么時(shí)候取等號(hào)呢？ $rankA+rankB=rank(A+B)\le rank（AB)\le rankA+rankB$ ，這意味著 $rank（AB)=rankA+rankB$ ，所以矩陣 $A,B$ 列空間只在原點(diǎn)相交。同理， $rankA+rankB=rank(A+B)\le rank(\left[\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right])\le rankA+rankB$ ，這意味著 $rank(\left[\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right])=rankA+rankB$ ，所以矩陣 $A,B$ 行空間只在原點(diǎn)相交。所以，$rank(A+B)=rankA+rankB$ 時(shí)，矩陣 $A,B$ 列空間只在原點(diǎn)相交，行空間只在原點(diǎn)相交。

$Sylvester$ 不等式，即對(duì)任意矩陣 $A_{mn},B_{np}$ ， $rankAB\ge rankA+rankB?n$ 成立。
若取 $AB=\mathbf{O}$ ，得 $rankA+rankB\le n$ 不等式。
證：令矩陣 $B$ 列向量組的極大無(wú)關(guān)組中有 $k$ 個(gè)向量位于矩陣 $A$ 的零空間，則 $rankAB=rankB?k$ ，又矩陣 $A$ 零空間維度是 $n?rankA$ ，所以 $k\le n?rankA$ ，則 $rankAB=rankB?k\ge rankB?(n?rankA)=rankA+rankB?n$ 。等號(hào)當(dāng) $k=n?rankA$ 時(shí)成立，即矩陣 $B$ 列向量組的極大無(wú)關(guān)組包含矩陣 $A$ 零空間的基，或者說(shuō)，矩陣 $A$ 零空間位于矩陣 $B$ 列空間內(nèi)。

$Frobenius$ 不等式，即對(duì)任意矩陣 $A_{mn},B_{np},C_{pq}$ ， $rankAB+rankBC\le rankABC+rankB$ 成立。
若取 $B=E_n$ ，得 $Sylvester$ 不等式。若取 $C=\mathbf{O}$ ，得 $rankAB\le rankB$ 不等式。
證：采用分塊矩陣和矩陣乘可逆矩陣秩不變?cè)韥?lái)證明。
$$\left[\begin{array}{cc}{E}_m& ?A\\ \mathbf{O}& E_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}AB& \mathbf{O}\\ B& BC\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{E}_p& ?C\\ \mathbf{O}& E_q\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\mathbf{O}& E_p\\ ?E_q& \mathbf{O}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}ABC& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& B\end{array}\right]$$
$$\begin{gathered} rank(\left[\begin{array}{cc}AB& \mathbf{O}\\ B& BC\end{array}\right])=rank(\left[\begin{array}{cc}ABC& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& B\end{array}\right])=rankABC+rankB \\ rank(\left[\begin{array}{cc}AB& \mathbf{O}\\ B& BC\end{array}\right])\ge rankAB+rankBC \end{gathered}$$