秩一矩阵的优良性质
前言：僅個人小記
秩一矩陣非常漂亮的五個性質(zhì)：
（1）秩一矩陣一定能夠拆解為兩個列向量a?\vec{a}a，b?\vec{b}b矩陣乘積的形式，具體為A=a?b?TA=\vec{a}{\vec{b}}^{T}A=abT這種形式
（2）秩一方陣的特征值之和即矩陣的跡，即矩陣主對角線之和等于上述兩個向量的內(nèi)積，即a?b?\vec{a}\vec{b}ab
（3）秩一方陣的特征值可以一眼看出，即只有一個非零特征值為λ=traA=Σaii=a?b?\lambda=tra{A}=\Sigma{a_{ii}}=\vec{a}\vec{b}λ=traA=Σaii?=ab，其他即為零特征值。
（4）很好地從另一個角度詮釋了矩陣乘法，如下，
ui?,vi?\vec{u_i},\vec{v_i}ui??,vi??都是列向量。
UVT=([u1?,u2?,...,un?])([v1?,v2?,...,vn?]T)=u1?v1?T+u2?v2?T+...,un?vn?TU{V}^{T}=([\vec {u_1},\vec{u_2},...,\vec{u_n}])({[\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_n}]}^{T})=\vec{u_1}{\vec{v_1}}^{T}+\vec{u_2}{\vec{v_2}}^{T}+...,\vec{u_n}{\vec{v_n}}^{T}UVT=([u1??,u2??,...,un??])([v1??,v2??,...,vn??]T)=u1??v1??T+u2??v2??T+...,un??vn??T
上式，右側(cè)為秩一矩陣之和。從列向量或者行向量的角度很容易理解u?v?T\vec{u}{\vec{v}}^{T}uvT是秩為一的矩陣。
（5）具備A2=kA{A}^{2}=kAA2=kA這種極好的可以用于解決高次冪矩陣乘法問題的性質(zhì)，具體推導(dǎo)如下，A=a?b?TA2=AA=a?b?Ta?b?T=a?(b?Ta?)b?T=ka?b?T=kAA2=kAA=\vec{a}{\vec{b}}^{T}\\{A}^{2}=AA=\vec{a}{\vec{b}}^{T}\vec{a}{\vec{b}}^{T}=\vec{a}({\vec{b}}^{T}\vec{a}){\vec{b}}^{T}=k\vec{a}{\vec{b}}^{T}=kA\\{A}^{2}=kAA=abTA2=AA=abTabT=a(bTa)bT=kabT=kAA2=kA
關(guān)于第（3）點本人仍未能夠給出很好的證明。據(jù)本人目前的判斷，這一點是穩(wěn)定是成立的。本人現(xiàn)有如下解釋：r(A)=1，(A?λ)x?=0?(A-\lambda)\vec{x}=\vec{0}(A?λ)x=0，顯然，當(dāng)λ=0\lambda=0λ=0時，必然矩陣A?λA-\lambdaA?λ的秩為1，所以齊次線性方程組方程組必然有n-1個線性無關(guān)的解向量，而這正是完全符合特征向量的要求，n-1個特征向量撐起了n-1維的特征空間，我認為一個2重根的特征值可能只對應(yīng)一個特征向量，但是如果m個線性無關(guān)特征向量對應(yīng)的同一個特征值則必然這個特征值至少是m重特征根。
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