文章目錄

• 一、狀態變量及狀態空間表達式
• 二、狀態空間表達式模擬結構圖
• 三、狀態空間表達式的建立
• • 1.由系統框圖建立
  • 2.由系統的機理建立
  • 3.由微分方程或傳遞函數建立
  • • 3.1能控標準型
    • 3.2能觀標準型
• 四、狀態矢量的線性變換
• • 1.狀態空間表達式變換為約當標準型
  • 2.當A為友矩陣時
  • 3.系統的并聯型實現（約當標準型實現）
• 五、從狀態空間表達式求傳遞函數矩陣

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一、狀態變量及狀態空間表達式

1.狀態變量：足以完全表征系統運動狀態的最小個數的一組變量$x_1?x_n$
2.狀態矢量： 以狀態變量為分量構成的矢量
$$x(t)=?\begin{array}{c}{x}_1\\ ?\\ x_n\end{array}?$$
3.狀態空間： 以狀態變量為坐標軸構成的n維空間
4.狀態方程：描述系統$u$與$x$之間關系的一階微分方程組
$$\dot{x}=Ax+Bu$$
5.輸出方程：描述系統$y$與$x$之間關系的一階微分方程組
$$y=Cx+Du$$
6.狀態空間表達式：$$\dot{x}=Ax+Bu$$$$y=Cx+Du$$
單輸入單輸出系統：
$$\dot{x}=Ax+bu$$$$y=cx$$
式中$x$為$n\times 1$陣，$A$為$n\times n$陣，$b$為$n\times 1$陣,$c$為$1\times n$陣
多輸入多輸出系統：
$$\dot{x}=Ax+Bu$$$$y=Cx+Du$$
式中$u$為$r\times 1$陣，$y$為$m\times 1$陣
$A$為$n\times n$陣，$B$為$n\times r$陣，$c$為$m\times n$陣,$D$為$m\times r$陣

二、狀態空間表達式模擬結構圖

繪制模擬結構圖的步驟：
1、選積分器數目等于狀態變量數
2、將每個積分器輸出選作一個狀態變量
3、據方程畫加法器和比例器

三、狀態空間表達式的建立

1.由系統框圖建立

系統框圖->模擬結構圖->選定狀態變量->建立狀態空間表達式

2.由系統的機理建立

3.由微分方程或傳遞函數建立

對于單變量線性定常系統，可以用一個n階線性常系數微分方程來描述：
$$y^{（n）}+a_{n?1}{y}^{(n?1)}+?+a_1\dot{y}+a_{0}y=b_m{u}^{(m)}+b_{m?1}{u}^{(m?1)}+?+b_1\dot{u}+b_{0}u$$
相應的傳遞函數為：
$$W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_m{s}^m+b_{m?1}{s}^{m?1}+?+b_{1}s+b_0}{s^n+a_{n?1}{s}^{n?1}+?+a_{1}s+a_0}$$
(1)當n>m時，傳遞函數為真分式，狀態空間表達式中d=0
(2)當n=m時，長除法，化為整數與真分式之和
$$W(s)=b_m+\frac{N(s)}{D(s)}$$
此時$d=b_m$

3.1能控標準型

1、傳遞函數中沒有零點時
$$y^{（n）}+a_{n?1}{y}^{(n?1)}+?+a_1\dot{y}+a_{0}y=b_{0}u$$
可以直接列寫狀態空間表達式：

稱為能控標準型
2、傳遞函數中有零點時
$$y^{（n）}+a_{n?1}{y}^{(n?1)}+?+a_1\dot{y}+a_{0}y=b_m{u}^{(m)}+b_{m?1}{u}^{(m?1)}+?+b_1\dot{u}+b_{0}u$$
狀態方程與傳遞函數無零點的狀態方程相同
輸出方程不同
當n=m時，輸出方程為

當m<n時，輸出方程為

3.2能觀標準型

式中

四、狀態矢量的線性變換

令$x=TZ$
新的狀態空間表達式

1.狀態空間表達式變換為約當標準型

1、無重根時

2、有重根時

重根對應的特征向量的求法

2.當A為友矩陣時

求變換陣T更方便
1、無重根時
變換陣T為范德蒙德矩陣
2、有重根時
變換陣T為：

3.系統的并聯型實現（約當標準型實現）

1、具有互異根
展開成部分分式：

其狀態空間表達式如下：

2、具有重根時
假設有三個重根，一個單根
展開成部分分式：

其狀態空間表達式如下

五、從狀態空間表達式求傳遞函數矩陣

$\dot{x}=Ax+Bu$
$y=Cx+Du$
拉普拉斯變換
$sX(s)=AX(s)+bU(s)$
$Y=CX(s)+DU(s)$
假定初始條件為0則有
$X(s)=(sI?A{)}^{?1}bU(s)$
$Y(s)=c(sI?A{)}^{?1}bU(s)+dU(s)$
即可求得傳遞函數矩陣
線性變換不改變系統的傳遞函數矩陣，同一系統，傳遞函數陣是唯一的
具有輸出反饋的系統如圖

其傳遞函數應等于$$W_1(s)[1+W_2(s)W_1(s){]}^{?1}$$
其中$W_1(s)W_2(s)$分別是前向通道和反饋通道的傳遞函數

總結

以上是生活随笔為你收集整理的现代控制理论（1）——状态空间表达式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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