【現控】1 系統狀態空間表達式

一、基本概念

狀態：狀態是變化的，是時域里的一系列變量。它可以數字、曲線或者其他什么更為抽象的東西描述。
狀態變量：能夠完全描述系統的最小一組變量。可抽象可具體。
狀態空間：以狀態變量構成的n維狀態空間。
狀態矢量：狀態矢量是狀態空間中的一點，由狀態變量線性合成。
狀態方程：由系統的狀態變量構成的一階微分方程組。
輸出方程：在指定系統輸出的情況下，該輸出與狀態變量間的函數關系式。
狀態空間表達式：狀態方程和輸出方程總和起來，構成對一個系統完整的動態描述。
狀態空間表達式的系統框圖：用于表示系統信號的傳遞關系，單線箭頭表示標量信號，雙線箭頭表示矢量信號。

有如下所示的單輸入單輸出系統和多輸入多輸出系統的狀態空間表達式：

表達式中各個矩陣稱為如下圖所示：

單輸入單輸出系統和多輸入多輸出系統的狀態框圖分別如下所示：

二、狀態空間表達式的建立

狀態空間表達式可以通過多種途徑建立，如根據系統機理建立、系統框圖建立、根據輸入輸出表達式建立等。這里著重講根據輸入輸出表達式建立狀態空間表達式。

1、輸入不含導數項

（1）能控規范形
求解系統狀態空間表達式的關鍵就在于狀態變量的選取，對于如上輸入不含導數項的情況，狀態變量往往選為輸出變量的0~n-1階導數，就可以獲得n個一階微分方程，從而將高階系統轉化為一階微分方程組，最終使控制系統得到簡化。

用向量-矩陣的形式表示時，狀態空間方程如下：

這便是能控規范形。

（2）能觀測規范形

這便是能觀測規范形。

2、輸入含有導數項
輸入含有導數項的微分方程在不僅求解上復雜，而且在物理實現上也存在麻煩，故希望選取合適的狀態變量使得狀態方程中不含輸入函數的導數項。輸入含有導數項的微分方程與傳遞函數如下：

（1）能控規范形
將傳遞函數改寫為：

選擇狀態變量為中間變量z的0到n-1階導數：

結果得到與輸入沒有導數項的狀態方程類似，不同的是輸出方程:

最終的到輸入含有導數項的能控規范形狀態空間表達式為：

（2）能觀測規范形

這便是輸入含有導數項的能觀測規范形狀態空間表達式。

3、約旦規范形
除了能控規范形和能觀測規范形，也可以把系統矩陣寫成約旦形，有時候會特別有用。約旦規范形又可以分為兩種情況。

情況1：傳遞函數所有極點互異。

將傳遞函數分解為部分分式的形式：

選取狀態變量：

則有：

改寫成矩陣形式，即可得到極點互異的約當規范形狀態空間表達式：

觀察表達式可以知道，系統矩陣的中的主對角元素正好是該系統的極點，而且只有主對角元素才有可能是非零的，系統矩陣則變為一個對角陣。對角陣是一種特殊的約旦陣。

情況2：傳遞函數所有極點非互異（有重根）。

首先依然是將傳遞函分解為部分分式形式，然后再用留數法確定其系數:

接著選擇狀態變量（重極點與互異極點分開選）：

考慮${\dot{x}}_k\left(t\right)$的表達式，$k=1,2,...,r,r+1,...,n$
$\left(1\right)k<r$

$$X_k\left(s\right)=\frac{1}{{\left(s?s_1\right)}^{r?k+1}}U\left(s\right)=\frac{1}{s?s_1}{X}_{k+1}\left(s\right)$$

$$s{X}_k\left(s\right)=s_1{X}_k\left(s\right)+X_{k+1}\left(s\right)$$

$${\dot{x}}_k=s_1{x}_k+x_{k+1}$$
$\left(2\right)k=r$
$$X_k\left(s\right)=\frac{1}{s?s_1}U\left(s\right)$$

$${\dot{x}}_k=s_1{x}_k+u$$
$\left(3\right)k>r$
$$X_k\left(s\right)=\frac{1}{s?s_k}U\left(s\right)$$

$${\dot{x}}_k=s_k{x}_k+u$$

以上三種情況的約旦規范形狀態空間表達式可以歸納為：

觀察約旦規范形的各個系數矩陣可知：系統矩陣的主對角線由一些約旦塊組成，并且其余元素都為0。當所有約旦塊均為1階時，系統矩陣為對角矩陣，也就是系統無重極點，并且主對角線的值也是系統矩陣的特征值。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【现控】系统状态空间表达式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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