状态空间
1. 定義 狀態(tài)變量(state variables)是指在系統(tǒng)中所含變量個(gè)數(shù)最少的變量，也就是決定系統(tǒng)狀態(tài)的最小數(shù)目的變量的有序集合，有時(shí)也稱(chēng)為狀態(tài)向量（state vector），例如表示天體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的位置和速度的變量。狀態(tài)變量表示系統(tǒng)某一時(shí)刻的值，在t=0時(shí)刻的值稱(chēng)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)變量。 在動(dòng)態(tài)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)公式
?是狀態(tài)變量或者向量。 狀態(tài)空間（State Space）是系統(tǒng)的全部可能狀態(tài)的集合。狀態(tài)空間表示法即為一種將物理系統(tǒng)表示為一組輸入、輸出及狀態(tài)的數(shù)學(xué)模式，而輸入、輸出及狀態(tài)之間的關(guān)系可用許多一階微分方程來(lái)描述[維基百科]。 如果系統(tǒng)的外輸入為已知，那么利用狀態(tài)向量（空間）的現(xiàn)時(shí)值就能完全確定系統(tǒng)在未來(lái)各時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，通過(guò)狀態(tài)變量描述能建立系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量與外部輸入變量和輸出變量之間的關(guān)系。以狀態(tài)和操作符為基礎(chǔ)，從某個(gè)初始狀態(tài)開(kāi)始，每次加一個(gè)操作符，遞增地建立起操作符的試驗(yàn)序列，直到達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)為止，建立狀態(tài)空間模型（state space models）。狀態(tài)空間模型在現(xiàn)代控制、經(jīng)濟(jì)、空間科學(xué)等多領(lǐng)域得到廣泛[1] [2]。 反映狀態(tài)變量與輸入變量間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)描述稱(chēng)為狀態(tài)方程，而輸出變量與狀態(tài)變量和輸入變量間的變換關(guān)系則由量測(cè)方程來(lái)描述[3]。
2. 狀態(tài)空間模型的R軟件包 R軟件是一款開(kāi)源統(tǒng)計(jì)軟件，在統(tǒng)計(jì)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。相關(guān)狀態(tài)空間模型軟件包有KFAS、MARSS、dlm等。 （1）KFAS軟件包 KFAS軟件包具有高斯、泊松和二項(xiàng)式狀態(tài)空間模型的模擬，卡爾曼濾波，平滑，預(yù)報(bào)等功能[4]。 （2）MARSS MARSS軟件包提供多元狀態(tài)空間自回歸模型的最大似然參數(shù)估計(jì)功能[5]，用于研究線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。MARSS模型包含一個(gè)處理模型（Process model）和一個(gè)觀測(cè)模型（Observation Model），處理模型是一個(gè)多元一階自回歸過(guò)程，數(shù)學(xué)形式為：
觀測(cè)方程為：
?（3）dlm 軟件包dlm具備線(xiàn)性狀態(tài)模型的貝葉斯估計(jì)、極大似然估計(jì)、卡爾曼濾波與平滑等功能[6] [7]，對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)線(xiàn)性模型為[8]:
參考文獻(xiàn) 1.Hyndman, R.J., et al., Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach. 2008: Springer. 2.Commandeur, J.J.F. and S.J. Koopman, An Introduction to State Space Time Series Analysis. 2007: OUP Oxford. 3.Grewal, M.S. and A.P. Andrews, Kalman Filtering: Theory and Practice Using MATLAB. 2011: Wiley. 4.Durbin, J. and S.J. Koopman, Time Series Analysis by State Space Methods: Second Edition. 2012: OUP Oxford. 5.Holmes, E.E., E.J. Ward, and K. Wills, MARSS: Multivariate Autoregressive State-space Models for Analyzing Time-series Data. R Journal, 2012. 4(1): p. 11-19. 6.Petris, G. and S. Petrone, State Space Models in R. Journal of Statistical Software, 2011. 41(4): p. 1-25. 7.Petris, G., S. Petrone, and P. Campagnoli, Dynamic Linear Models with R. 2009: Springer. 8.Petris, G., An R Package for Dynamic Linear Models. Journal of Statistical Software, 2010. 36(12): p. 1-16.
?是狀態(tài)變量或者向量。 狀態(tài)空間（State Space）是系統(tǒng)的全部可能狀態(tài)的集合。狀態(tài)空間表示法即為一種將物理系統(tǒng)表示為一組輸入、輸出及狀態(tài)的數(shù)學(xué)模式，而輸入、輸出及狀態(tài)之間的關(guān)系可用許多一階微分方程來(lái)描述[維基百科]。 如果系統(tǒng)的外輸入為已知，那么利用狀態(tài)向量（空間）的現(xiàn)時(shí)值就能完全確定系統(tǒng)在未來(lái)各時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，通過(guò)狀態(tài)變量描述能建立系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量與外部輸入變量和輸出變量之間的關(guān)系。以狀態(tài)和操作符為基礎(chǔ)，從某個(gè)初始狀態(tài)開(kāi)始，每次加一個(gè)操作符，遞增地建立起操作符的試驗(yàn)序列，直到達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)為止，建立狀態(tài)空間模型（state space models）。狀態(tài)空間模型在現(xiàn)代控制、經(jīng)濟(jì)、空間科學(xué)等多領(lǐng)域得到廣泛[1] [2]。 反映狀態(tài)變量與輸入變量間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)描述稱(chēng)為狀態(tài)方程，而輸出變量與狀態(tài)變量和輸入變量間的變換關(guān)系則由量測(cè)方程來(lái)描述[3]。
2. 狀態(tài)空間模型的R軟件包 R軟件是一款開(kāi)源統(tǒng)計(jì)軟件，在統(tǒng)計(jì)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。相關(guān)狀態(tài)空間模型軟件包有KFAS、MARSS、dlm等。 （1）KFAS軟件包 KFAS軟件包具有高斯、泊松和二項(xiàng)式狀態(tài)空間模型的模擬，卡爾曼濾波，平滑，預(yù)報(bào)等功能[4]。 （2）MARSS MARSS軟件包提供多元狀態(tài)空間自回歸模型的最大似然參數(shù)估計(jì)功能[5]，用于研究線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。MARSS模型包含一個(gè)處理模型（Process model）和一個(gè)觀測(cè)模型（Observation Model），處理模型是一個(gè)多元一階自回歸過(guò)程，數(shù)學(xué)形式為：
觀測(cè)方程為：
?（3）dlm 軟件包dlm具備線(xiàn)性狀態(tài)模型的貝葉斯估計(jì)、極大似然估計(jì)、卡爾曼濾波與平滑等功能[6] [7]，對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)線(xiàn)性模型為[8]:
參考文獻(xiàn) 1.Hyndman, R.J., et al., Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach. 2008: Springer. 2.Commandeur, J.J.F. and S.J. Koopman, An Introduction to State Space Time Series Analysis. 2007: OUP Oxford. 3.Grewal, M.S. and A.P. Andrews, Kalman Filtering: Theory and Practice Using MATLAB. 2011: Wiley. 4.Durbin, J. and S.J. Koopman, Time Series Analysis by State Space Methods: Second Edition. 2012: OUP Oxford. 5.Holmes, E.E., E.J. Ward, and K. Wills, MARSS: Multivariate Autoregressive State-space Models for Analyzing Time-series Data. R Journal, 2012. 4(1): p. 11-19. 6.Petris, G. and S. Petrone, State Space Models in R. Journal of Statistical Software, 2011. 41(4): p. 1-25. 7.Petris, G., S. Petrone, and P. Campagnoli, Dynamic Linear Models with R. 2009: Springer. 8.Petris, G., An R Package for Dynamic Linear Models. Journal of Statistical Software, 2010. 36(12): p. 1-16.
總結(jié)
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