现代控制理论——状态、状态空间、状态空间描述
一、狀態：
動態系統的狀態粗略地說就是指系統的過去、現在和將來的運動狀況。精確地說，狀態需要一組必要而充分的數據說明。
對于運動的小車，系統的狀態可以為位置和速度，對于電機可以為轉速。
二、系統變量
1、狀態變量
系統的狀態變量，就是指足以完全確定系統運動狀態的最小一組變量。一個用n階微分方程描述的系統，就有n個獨立變量，求得這n個獨立變量的時間響應，系統的運動狀態也就被揭示無遺了。因此，可以說系統的狀態變量就是n階系統的n個獨立變量。（需要注意的是控制輸入并非系統的狀態變量，對于二階系統，如小車，其狀態變量為位置和速度）
設為系統的一組狀態變量，則它應該滿足下列兩個條件：
（1） 在任何時刻，這組變量的值都表示在該時刻的狀態
（2）當系統的輸入和上述初始狀態確定以后，狀態變量便能完全確定系統在任何時刻的行為。
2、狀態變量的選取
同一個系統，究竟選取那些變量作為狀態變量，這不是唯一的，要緊的是這些狀態變量是相互獨立的，且其個數等于微分方程的階數。狀態變量的個數應等于系統獨立儲能元件的個數。
狀態變量不一定是物理上可測量或可觀測的量，但通常總是選擇易于測量的量作為狀態變量，因為當系統實現最佳控制規律時，需要反饋所有的狀態變量。
三、狀態向量：
如果完全描述一個系統的動態行為需要n個狀態變量，那么這n個狀態變量作分量所構成的向量就叫做該系統的狀態向量，記作
通過構建狀態向量，實際上為將帶有物理意義的狀態變量轉化為n為空間的一個坐標，便于我們觀察狀態變量隨時間的變化規律。
四、狀態空間
以狀態變量為坐標所構成的n維空間，稱為狀態空間。
系統的任何狀態，都可以用狀態空間中的一個點來表示。即在特定時刻t狀態向量x(t)在狀態空間中是一個點。已知初始時刻的，就得到狀態空間中的一個初始點。隨著時間的推移，x(t)在空間中描繪出一條軌跡，稱為狀態軌線。
顯然，狀態軌線的形狀，完全由系統在時刻初始狀態和的輸入及系統的動態特性唯一決定的。
五、狀態方程
描述系統狀態變量與系統輸入之間關系的一階微分方程組稱為狀態方程。
下中，若令，即取為此系統的一組狀態變量，則由牛頓第二定律得一階微分方程組
將得到的方程組轉化：
即為該系統的狀態方程，可簡寫成：
其中：
六、輸出方程
描述系統的狀態變量與輸出變量關系的一組代數方程稱為輸出方程。上圖中，指定系統位移為系統的輸出，則有：對于一般單輸入——單輸出系統，狀態方程和輸出方程為或
系統的輸出方程，簡寫成：
，其中,
七、狀態空間描述
狀態方程和輸出方程一同構成一個系統動態的完整描述，稱為系統的狀態空間表達式，也稱為狀態空間描述。對于一般單輸入——單輸出系統，狀態方程和輸出方程為：
用向量矩陣表示的狀態空間表達式為：
式中：
對于一個復雜系統，它有r個輸入，m個輸出，此時狀態方程為：
而輸出方程，不僅是狀態變量的組合，而且在特殊情況下，可以有輸入向量的直接傳送，因而有以下一般形式：
因而，多輸入多輸出系統狀態空間表達式的向量矩陣形式為：
x和A與單輸入單輸出系統一樣，為n維狀態向量和nXn狀態矩陣，其中：
八、狀態空間描述
狀態空間的描述和經典控制理論中的描述不同：
（1）狀態空間描述了系統內部狀態和輸入、輸出關系，而在經典控制理論中描述的是輸入輸出之間的關系。因而狀態空間揭示了系統的內部聯系，輸入引起狀態的變化，而狀態的變化決定輸出的變化；
（2）輸入引起狀態的變化是一個運動過程，用微分方程組表示，即狀態方程。狀態決定輸出的變化則是一個變換過程，數學上表現為一個變換方程，即代數方程；
（3）系統狀態變量的個數等于系統所包含的獨立儲能元件的個數。因此，一個n階系統有且僅有n個狀態變量可以選擇。同時需要說明狀態變量的選擇不是唯一的。（經典控制給定輸入輸出傳遞函數就已確定，唯一）
對于簡單的電路和力學回路，選擇獨立的儲能元件的儲能變量，如電容端電壓，電感中（或電樞中）電流，慣性元件的速度，彈性元件的位移，電動機轉子的角速度，以及水槽的水位等；
（4）狀態空間表達式的突出優點是當狀態變量個數，輸入和輸出個數增加時并不增加方程表達式和分析上的復雜性。同時，系統的狀態空間分析法是在時域內進行的一種矩陣運算的方法，因此，特別適用于計算機來運算。
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總結
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