目錄

• 一、傳遞函數(shù)$\to$狀態(tài)空間模型
• • 1.1 預(yù)處理
  • 1.2 從最簡(jiǎn)單的分子為1的傳遞函數(shù)入手
  • 1.2 分子不為1的傳遞函數(shù)
  • 1.3 另一種思路：利用線性疊加原理
  • 1.4 對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)使用分解法
  • • 1.4.1 串聯(lián)法
    • 1.4.2 并聯(lián)法
• 二、狀態(tài)空間模型$\to$傳遞函數(shù)
• 三、對(duì)偶關(guān)系
• 四、例題
• 五、參考資料

傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論的工具，只能用于SISO和LTI系統(tǒng)；狀態(tài)空間模型屬于現(xiàn)代控制理論，對(duì)SISO和MIMO、LTI和非線性或時(shí)變系統(tǒng)都適用。既然考慮二者的互相轉(zhuǎn)換，那么對(duì)象只可能是滿足SISO和LTI的系統(tǒng)。

一、傳遞函數(shù)$\to$狀態(tài)空間模型

傳遞函數(shù)的一般形式：

1.1 預(yù)處理

用長(zhǎng)除法進(jìn)行簡(jiǎn)化：

從而得到新的G(s)：

原來(lái)的G(s)是新的G(s)和d的并聯(lián)，可以按并聯(lián)系統(tǒng)處理。方便起見(jiàn)，下面先只考慮形似新的G(s)的傳遞函數(shù)。

1.2 從最簡(jiǎn)單的分子為1的傳遞函數(shù)入手

一個(gè)例子：

要求它的狀態(tài)空間模型，首先寫(xiě)成輸入輸出關(guān)系：

對(duì)應(yīng)的微分方程：

定義新的變量：

狀態(tài)空間模型：

狀態(tài)矩陣A：最底行對(duì)應(yīng)傳遞函數(shù)分母的系數(shù)，符號(hào)相反；右上角是2階單位陣。
輸入矩陣B：只有最后一維非零，對(duì)應(yīng)分子常數(shù)1。
輸出矩陣C：只有第一維非零，1對(duì)應(yīng)分子常數(shù)1。
直接轉(zhuǎn)移矩陣D：為0，因?yàn)镚(s)的分子次數(shù)小于分母。
模擬圖：

畫(huà)的時(shí)候左邊是u，根據(jù)B中只有第三維是1，確定u通過(guò)加法流向$\dot{x_3}$，積分得到$x_3$。然后再畫(huà)$\dot{x_2},x_2,\dot{x_1},x_1$。根據(jù)$\dot{x_3}$的構(gòu)成畫(huà)反饋。根據(jù)C得到$y=x_1$。

根據(jù)前面找到的規(guī)律，把上面的三階傳遞函數(shù)，推廣到一般情況：

對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間模型是

稱為是傳遞函數(shù)G的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。

1.2 分子不為1的傳遞函數(shù)

還是考慮分母是三階的：

可以看成是：


對(duì)于內(nèi)層

的部分，顯然

對(duì)于外層

微分方程：

定義狀態(tài)變量：

這里的$y_1$也就是分子為1時(shí)候的y。也就是說(shuō)，分子不為1的時(shí)候，輸出是原來(lái)y及其微分的線性組合。所以，對(duì)于分子不為1的傳函，狀態(tài)空間模型是

4個(gè)矩陣中只有B發(fā)生了變化：與傳遞函數(shù)的分子系數(shù)相對(duì)應(yīng)。
相應(yīng)的圖為：

畫(huà)的時(shí)候，將3個(gè)積分器的輸出線性相加得到最后的輸出。

仍然把3維的推廣到n維，并且考慮長(zhǎng)除法得到的商：

對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間模型為：

只要把G化成上面的形式，就可以直接觀察系數(shù)寫(xiě)出模型的4個(gè)矩陣了，很方便。這個(gè)形式的模型稱為“能控標(biāo)準(zhǔn)型”。

1.3 另一種思路：利用線性疊加原理

還是以3階系統(tǒng)為例：

如果直接寫(xiě)成y和u的微分方程：

這時(shí)候，右邊的u是有微分項(xiàng)的（而按1.2中的方法，由于內(nèi)層的分子是1，避免了這個(gè)問(wèn)題）。
如果先不看微分項(xiàng)，只考慮

它和前面分析過(guò)的分子為1的傳遞函數(shù)是一樣的，即有

然后只考慮u的一階微分項(xiàng)作為輸入：

對(duì)比上一個(gè)方程，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程是上一個(gè)方程兩邊再做一次微分的結(jié)果，所以輸出分量r和w有這樣的關(guān)系：

同理，只考慮u的二階微分的時(shí)候：

又滿足：

根據(jù)疊加原理，總的輸出是3個(gè)輸入分量得到的3個(gè)輸出分量的線性和：

b對(duì)應(yīng)y-u微分方程右邊的系數(shù)。

1.4 對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)使用分解法

如果G的階數(shù)比較高，可以把它分解成低階的，先得到低階的狀態(tài)空間模型，再合成高階的模型。可以用串聯(lián)法、并聯(lián)法等。

1.4.1 串聯(lián)法

有的傳遞函數(shù)很容易因式分解，可以用串聯(lián)法，例如：

因式分解：

看成是三個(gè)環(huán)節(jié)的串聯(lián)，很容易得到它們各自的模型：

系數(shù)的求法用之前的方法就可以做，前兩個(gè)環(huán)節(jié)由于階數(shù)很低，熟練之后可以直接看出來(lái)。對(duì)于第三個(gè)環(huán)節(jié)，我們可以設(shè)$X_3(s)=\frac{1}{s+4}{U}_3(s)$而$Y(s)=(s+2)X_3(s)$，即可得：
$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_3& =?4x_3+u_3\\ y& ={\dot{x}}_3+2x_3\\ & =?4x_3+u_3+2x_3\\ & =?2x_3+u_3\end{array}$$
這三個(gè)環(huán)節(jié)有什么關(guān)聯(lián)呢？u2=y1,u3=y2。所以

圖：

1.4.2 并聯(lián)法

考慮

分解得到

畫(huà)圖，分別求出兩個(gè)環(huán)節(jié)的模型：

對(duì)于并聯(lián)，兩個(gè)環(huán)節(jié)之間的關(guān)系是：u=u1=u2,y=y1+y2。因此

這里的A是對(duì)角陣，所以并聯(lián)得到的也稱“對(duì)角型”。
系數(shù)的規(guī)律：
A中的系數(shù)值是傳遞函數(shù)極點(diǎn)-1和1，B的系數(shù)對(duì)應(yīng)分子1和1。
實(shí)際上，對(duì)于

利用并聯(lián)法得到的模型為：

狀態(tài)圖：

如果存在重極點(diǎn)，例如：

系數(shù)用留數(shù)定理求：

輸入輸出關(guān)系為：

令

得到系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程：


因此，模型為：

觀察發(fā)現(xiàn)，如果存在重根，則A為若當(dāng)型，n重根對(duì)應(yīng)的若當(dāng)塊是n階的，并且相應(yīng)的B中的系數(shù)為0。
狀態(tài)圖為：

二、狀態(tài)空間模型$\to$傳遞函數(shù)

設(shè)已知的狀態(tài)空間模型為：

在零初始條件下，用拉普拉斯變換得到

所以

可見(jiàn)，傳遞函數(shù)是由狀態(tài)空間模型唯一確定的。

三、對(duì)偶關(guān)系

在2中根據(jù)狀態(tài)空間模型可以求出傳遞函數(shù)：

對(duì)于SISO系統(tǒng)，這是一個(gè)標(biāo)量，所以，$G=G^T$。由此，可以得到：

這兩種寫(xiě)法的形式是一樣的，對(duì)比系數(shù)可以得出另一種模型寫(xiě)法：

這種寫(xiě)法的模型被稱為原來(lái)模型的對(duì)偶系統(tǒng)模型。
對(duì)這個(gè)對(duì)偶模型再做一次對(duì)偶，可以得到原來(lái)的模型

這說(shuō)明對(duì)偶關(guān)系是雙向的，它們互為對(duì)偶。
我們上面寫(xiě)過(guò)能控標(biāo)準(zhǔn)型：

它也有它的對(duì)偶模型，即“能觀標(biāo)準(zhǔn)型”：

兩種模型的狀態(tài)圖：

四、例題

五、參考資料

[1] 浙江工業(yè)大學(xué)俞立老師課程ppt，網(wǎng)課見(jiàn)b站：現(xiàn)代控制理論 浙江工業(yè)大學(xué) 俞立，評(píng)論區(qū)有ppt的網(wǎng)盤(pán)鏈接
[2] 田玉平，蔣珉，李世華．自動(dòng)控制原理[M]．北京：科學(xué)出版社，2006

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的状态空间模型与传递函数的转换关系+例题的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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