随机微分方程学习笔记04 Ito公式
Ito公式的證明很繁瑣，暫時不寫證明。完整的證明可以看Karatzas和Shreve在1991年的Brownian motion and stochastic calculus.2nd ed.。
V?={(Y(t),t≥0):實值連續隨機過程，適應的(adaptive)，可測的，且P(∫0∞Y(t)2dt<∞)=1}V^*=\{(Y(t),t \ge 0):實值連續隨機過程，適應的(adaptive)，可測的，且\mathbb{P}\left(\int_0^{\infty}Y(t)^2\mathrmozvdkddzhkzdt<\infty\right)=1\}V?={(Y(t),t≥0):實值連續隨機過程，適應的(adaptive)，可測的，且P(∫0∞?Y(t)2dt<∞)=1}
定理：設h∈V?h\in V^*h∈V?，(g(t),t≥0)(g(t),t\ge 0)(g(t),t≥0)是一個適應的過程，且滿足?T>0\forall T>0?T>0，∫0T∣g(t)∣dt<∞\int_0^{T}|g(t)|\mathrmozvdkddzhkzdt<\infty∫0T?∣g(t)∣dt<∞幾乎處處成立。令X(t):=∫0tg(s)ds+∫0th(s)dW(s),t≥0,X(t):=\int_{0}^{t}g(s)\mathrmozvdkddzhkzds+\int_0^{t}h(s)\mathrmozvdkddzhkzdW(s),t\ge 0,X(t):=∫0t?g(s)ds+∫0t?h(s)dW(s),t≥0,設F∈C2,1(R×R+,R)F\in C^{2,1}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^+,\mathbb{R})F∈C2,1(R×R+,R)，Y(t)=F(X(t),t)Y(t)=F(X(t),t)Y(t)=F(X(t),t)，則Y(t)=Y(0)+∫0t?F?x(X(s),s)h(s)dW(s)+∫0t(?F?t(X(s),s)+?F?x(X(s),s)g(s)+12?2F?x2(X(s),s)h2(s))ds,t≥0.\begin{aligned} Y(t)=&Y(0)+\int_0^t\frac{\partial F}{\partial x}(X(s),s)h(s)\mathrmozvdkddzhkzdW(s)\\ &+\int_0^{t}\left(\frac{\partial F}{\partial t}(X(s),s)+\frac{\partial F}{\partial x}(X(s),s)g(s)+\frac{1}{2}\frac{\partial ^2 F}{\partial x^2}(X(s),s)h^2(s)\right)\mathrmozvdkddzhkzds,t\ge 0. \end{aligned}Y(t)=?Y(0)+∫0t??x?F?(X(s),s)h(s)dW(s)+∫0t?(?t?F?(X(s),s)+?x?F?(X(s),s)g(s)+21??x2?2F?(X(s),s)h2(s))ds,t≥0.?
定理：設h是一個Rd×m\mathbb{R}^{d\times m}Rd×m值過程，其分量都屬于V?V^*V?，(g(t),t≥0)(g(t),t\ge 0)(g(t),t≥0)是一個Rd\mathbb{R}^dRd-值適應的過程，且?T>0\forall T>0?T>0，∫0∞∥g(t)∥dt<∞\int_0^{\infty}\|g(t)\|\mathrmozvdkddzhkzdt<\infty∫0∞?∥g(t)∥dt<∞幾乎處處成立。令X(t):=∫0tg(s)ds+∫0th(s)dW(s),t≥0,X(t):=\int_0^tg(s)\mathrmozvdkddzhkzds+\int_0^th(s)\mathrmozvdkddzhkzdW(s),t\ge 0,X(t):=∫0t?g(s)ds+∫0t?h(s)dW(s),t≥0,設WWW是一個mmm-維布朗運動，F∈C2,1(Rd×R+,Rp)F\in C^{2,1}(\mathbb{R}^d\times \mathbb{R}^+,\mathbb{R}^p)F∈C2,1(Rd×R+,Rp)，Y(t)=F(X(t),t),t≥0Y(t)=F(X(t),t),t\ge 0Y(t)=F(X(t),t),t≥0，則Y(t)=Y(0)+∫0tDF(X(s),s)h(s)dW(s)+∫0t(?F?t(X(s),s)+DF(X(s),s)g(s)+12∑i,j=1d?2F?xi?xj(X(s),s)(∑l=1mhi,l(s)hj,l(s)))ds,t≥0.\begin{aligned} Y(t)=&Y(0)+\int_0^tDF(X(s),s)h(s)\mathrmozvdkddzhkzdW(s)\\ &+\int_0^t\left(\frac{\partial F}{\partial t}(X(s),s)+DF(X(s),s)g(s)+\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^ozvdkddzhkzd\frac{\partial^2F}{\partial x_i\partial x_j}(X(s),s)\left(\sum_{l=1}^{m}h_{i,l}(s)h_{j,l}(s)\right)\right)\mathrmozvdkddzhkzds,t\ge 0. \end{aligned}Y(t)=?Y(0)+∫0t?DF(X(s),s)h(s)dW(s)+∫0t?(?t?F?(X(s),s)+DF(X(s),s)g(s)+21?i,j=1∑d??xi??xj??2F?(X(s),s)(l=1∑m?hi,l?(s)hj,l?(s)))ds,t≥0.?其中DF=(?xiFj)1≤i≤d,1≤j≤pDF=(\partial_{x_i}F_j)_{1\le i\le d,1\le j\le p}DF=(?xi??Fj?)1≤i≤d,1≤j≤p?表示FFF的Jacobian矩陣。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的随机微分方程学习笔记04 Ito公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
- 上一篇： 验证集精度高于训练集精度的原因分析
- 下一篇： html如何修改字体黑体,css如何设置