筆者在學(xué)習(xí)過(guò)程發(fā)現(xiàn)，BSDE的解對(duì)終端值的依賴(lài)性在網(wǎng)上很難找到證明，故在證明后整理如下，希望能給后來(lái)者一些便利。

$?d{Y}_t=g(s,Y_s,Z_s)ds?Z_{s}d{W}_s,t\in [0,T]$

$Y_T=\xi$

(H1)${\int }_0^T|g(,0,0)|ds$$\in$$L^2(\Omega ,{\mathcal{F}}_t,P;{\mathbb{R}}^n)$

(H2)$|g(t,y,z)?g(t,y^{\prime },z^{\prime })|\le$$C(|y?y^{\prime }|+|z?z^{\prime }|),y\in {\mathbb{R}}^n,z\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$

則有如下不等式：

$E\underset{0\le t\le T}{\sup }|Y_t?\widehat{Y_t}{|}^2+E{\int }_0^T|Z_s?\widehat{Z_s}{|}^{2}ds\le C_{0}E|\xi ?\hat{\xi }{|}^2$

證明：

①對(duì)$|Y_s?\widehat{Y_s}{|}^2{e}^{\beta (s?t)}It\hat{o}$求導(dǎo)，在$[t,T]$上積分有：
$|Y_T?\widehat{Y_T}{|}^2{e}^{\beta (T?t)}?|Y_t?\widehat{Y_t}{|}^2={\int }_t^T(\beta |Y_s?\widehat{Y_s}{|}^2+|Z_s?\widehat{Z_s}{|}^2)e^{\beta (s?t)}ds+{\int }_t^{T}2e^{\beta (s?t)}(Y_s?\widehat{Y_s})(Z_s?\widehat{Z_s})d{W}_s?{\int }_t^{T}2e^{\beta (s?t)}(Y_s?\widehat{Y_s})(g(s,Y_s,Z_s)?g(s,\widehat{Y_s},\widehat{Z_s}))ds$
利用$2ab=a\sqrt{\beta }\frac{2b}{\sqrt{\beta }}\le \frac{\beta }{2}{a}^2+\frac{4}{2\beta }{b}^2$，并對(duì)上式兩端取條件期望有：
$|Y_t?\widehat{Y_t}{|}^2+$
（為節(jié)省時(shí)間，附上圖片，就不一一贅述了。）

下圖對(duì)（i）部分的證明（打紅色問(wèn)號(hào)處），正確證明方式見(jiàn)空格后的證明。

如有錯(cuò)誤處，請(qǐng)指正！

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的倒向随机微分方程（BSDE）解对终端值的依赖性的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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