CQF筆記M1L5仿真和操作隨機微分方程

• • • Module 1 Building Blocks of Quant Finance
    • • Lecture 5 Simulating and Manipulating Stochastic Differential Equations
      • • 操作隨機微分方程
        • 轉移概率密度函數
        • • 前向方程
          • 對數正態隨機游走
          • 穩態分布
          • 反向方程
        • 仿真對數正態隨機游走
        • 生成相關的隨機數

Module 1 Building Blocks of Quant Finance

Lecture 5 Simulating and Manipulating Stochastic Differential Equations

操作隨機微分方程

$dG=a(G,t)dt+b(G,t)dX$
稱為$G$的隨機微分方程或者$dG$的隨機游走，由兩部分組成：

$a(G,t)dt$是確定性部分，$dt$的系數稱為drift或者growth

$b(G,t)dX$是隨機部分, $dX$的系數稱為diffusion或者volatility

資產價格和幾何布朗運動

$$dS=\mu Sdt+\sigma SdX\text{\hspace{1em}(1)}$$

• drift $a(S,t)=\mu S$
• diffusion $b(S,t)=\sigma S$

這個隨機過程叫幾何布朗運動Geometric Brownian Motion(GMB)或指數布朗運動Exponential Brownian Motion(EMB)，廣泛用于資產定價

期權價格

$$df=f(X+dX)?f(x)=\frac{df}{dX}dX+\frac{1}{2}\frac{d^{2}f}{d{X}^2}dt\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中用到$li{m}_{dt\to 0}d{X}^2=dt$

重寫公式$(1)$為 $$\begin{array}{r}\frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma dX\end{array}$$

• $dS$反映很短時間間隔$dt$內的價格變化, $\begin{array}{r}\frac{dS}{S}\end{array}$表示資產收益率
• $\mu$ 是資產收益率的平均值
• $\sigma$ 反映資產收益率的波動性（標準差）
• $dX$ 是布朗運動的增量，服從正態分布$dX～N(0,dt)$

期權價格是隨機過程的函數$V(S)$, 進行泰勒展開得到 $$\begin{array}{r}dV=\frac{dV}{dS}dS+\frac{1}{2}\frac{d^{2}V}{d{S}^2}d{S}^2\end{array}$$

忽略$d{t}^{\frac{3}{2}},d{t}^2$等高階無窮小, 得到$d{S}^2={\sigma }^2{S}^{2}dt$，帶入得到
$$\begin{array}{r}dV=(\mu S\frac{dV}{dS}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{d^{2}V}{d{S}^2})dt+(\sigma S\frac{dV}{dS})dX\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
這是一個新的隨機微分方程，同樣包括確定性部分和隨機部分

實例1：對數
由于幾何布朗運動的右側有S，無法直接通過積分求解，定義中間函數$V(S)=logS$，有

$$\begin{array}{rl}& \frac{dV}{dS}=\frac{1}{S}\\ & \frac{d^{2}V}{d{S}^2}=?\frac{1}{S^2}\end{array}$$

由公式$(3)$得到
$$d(logS)=(\mu ?\frac{1}{2}{\sigma }^2)dt+\sigma dX$$
兩邊積分，得到
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{t}d(logS)& ={\int }_0^t(\mu ?\frac{1}{2}{\sigma }^2)d\tau +{\int }_0^t\sigma dX\\ & =(\mu ?\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+\sigma (X(t)?X(0))\end{array}$$
假設$X(0)=0,S(0)=S_0$,
$$\begin{array}{rlr}S(t)& =S_0{e}^{(\mu ?\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+\sigma X(t)}& =S_0{e}^{(\mu ?\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+\sigma ?\sqrt{t}}\end{array}$$

實例2：均值復歸

考察 $dr=\gamma (\bar{r}?r)dt+\sigma dX$

• $\gamma$ 是回復速度
• $\bar{r}$ 是均值（長期均值）

這個微分方程同樣無法直接通過積分求解$r$，令$u=r?\bar{r}$, 兩邊同時乘以$e^{\gamma t}$, 使用乘法法則，得到$$d(u{e}^{\gamma t})=\sigma e^{\gamma t}dX$$, 兩邊積分得到
$$\begin{array}{rl}u(t)& =u(0)e^{?\gamma t}+\sigma {\int }_0^t{e}^{\gamma (s?t)}d{X}_s\\ & =u(0)e^{?\gamma t}+\sigma (X(t)?\gamma {\int }_0^{t}X(s)e^{\gamma (s?t)}ds)\end{array}$$

轉移概率密度函數

$$dy=A(y,t)dt+B(y,t)dX$$

注意概率密度函數$p(y,t;y^{\prime },t^{\prime })$的定義
$$\begin{array}{r}Prob(a<y^{\prime }<battime{t}^{\prime }|yattimet)={\int }_a^{b}p(y,t;y^{\prime },t^{\prime })d{y}^{\prime }\end{array}$$

前向方程

已知：當前時刻$t$的值為$y$
求解：未來時刻$t^{\prime }$的值為$y^{\prime }$的概率(分布)

通過三叉樹思想可以得到前向方程和反向方程, 參考泰勒級數和轉移概率密度函數

$$\begin{array}{r}\frac{?p}{?t^{\prime }}=\frac{1}{2}\frac{{?}^2}{?{y^{\prime }}^2}(B(y^{\prime },t^{\prime }{)}^{2}p)?\frac{?}{?y^{\prime }}(A(y^{\prime },t^{\prime })p)\end{array}$$

這個方程稱為Fokker–Planck或者forward Kolmogorov方程

對數正態隨機游走

$$dS=\mu Sdt+\sigma SdX$$

• $A(S,t)=\mu S$
• $B(S,t)=\sigma S$

前向方程變為
$$\begin{array}{r}\frac{?p}{?t^{\prime }}=\frac{1}{2}\frac{{?}^2}{?{y^{\prime }}^2}({\sigma }^2{S^{\prime }}^{2}p)?\frac{?}{?y^{\prime }}(\mu S^{\prime }p)\end{array}$$

求解得到
$$\begin{array}{r}p(S,t;S^{\prime },t^{\prime })=\frac{1}{\sigma S^{\prime }\sqrt{2\pi (t^{\prime }?t)}}{e}^{?(log(S/S^{\prime })+(\mu ?\frac{1}{2}{\sigma }^2)(t^{\prime }?t){)}^2/2{\sigma }^2(t^{\prime }?t)}\end{array}$$

對數隨機游走的概率密度分布

下圖是上圖表達的是同一個意思

穩態分布

當$t^{\prime }\to \infty$時, $p(y,t;y^{\prime },t^{\prime })$與初始時刻$t$的狀態$y$無關。

• 利率、通脹和波動率的SDE模型呈現穩態分布
• 對數正態分布隨機游走會變為無界或者退化為0（非穩態）

穩態分布$p_{\infty }(y^{\prime })$滿足微分方程

$$\begin{array}{r}\frac{1}{2}\frac{d^2}{{d{y}^{\prime }}^2}(B^2{p}_{\infty })?\frac{d}{d{y}^{\prime }}(A{p}_{\infty })=0\end{array}$$

Vasicek model

$$dr=\gamma (\bar{r}?r)dt+\sigma dX$$

帶入穩態分布的微分方程
$$\begin{array}{r}\frac{1}{2}{\sigma }^2\frac{d^2{p}_{\infty }}{{d{y}^{\prime }}^2}?\gamma \frac{d}{d{r}^{\prime }}((\bar{r}?r^{\prime })p_{\infty })=0\end{array}$$

解方程得到
$$\begin{array}{r}{p}_{\infty }=\frac{1}{\sigma }\sqrt{\frac{\gamma }{\pi }}{e}^{?\frac{\gamma (\bar{r}?r^{\prime }{)}^2}{{\sigma }^2}}\end{array}$$

說明利率
$$r～N(\bar{r},\frac{{\sigma }^2}{2\gamma })$$

TODO: 疑問: Vasicek模型本身滿足穩態分布，還是假設他滿足穩態分布

反向方程

backward Kolmogorov equation

$$\begin{array}{r}\frac{?p}{?t}+\frac{1}{2}B(y,t{)}^2\frac{{?}^p}{?y^2}+A(y,t)\frac{?p}{?y}=0\end{array}$$

仿真對數正態隨機游走

$$dS=\mu Sdt+\sigma SdX$$

變換為離散時間
$$\begin{array}{r}{S}_{i+1}=S_i(1+\mu \delta t+\sigma ?{\delta }^{1/2})\end{array}$$

Euler method 用電子表格軟件仿真這個模型

輸入參數

• 初始值 $S_0$
• 時間步長 $\delta t$
• drift rate $\mu$
• 波動率 $\sigma$
• 步數

標準正態分布發生器 $?$
在Excel中，

• 精確但是慢的方法：用函數NORMSINV(RAND())產生標準正態分布的隨機數
• 不精確但是快的方法：($\begin{array}{r}\sum _{i=1}^{12}\end{array}$ RAND()) - 6
  這里是用均勻分布之和呈現正態分布的特性，只取了12次均勻分布的和，所以不太精確

仿真其他隨機游走

基本思路都是先離散化，再用正態分布隨機數發生器產生數據

生成相關的隨機數

生成不相關的隨機數

生成不相關的隨機數${?}_1$和${?}_2$

組合隨機數
${?}_1={?}_1$
${?}_2=\rho {?}_1+\sqrt{1?{\rho }^2}{?}_2$$
${?}_1$和${?}_2$的相關性為$\rho$

獨立正態分布$Xi～N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$的加權和滿足正態分布
$$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n{\omega }_i{X}_i～N(\sum _{i=1}^n{\omega }_i{\mu }_i,\sum _{i=1}^n{\omega }_i^2{\sigma }_i^2)\end{array}$$

以上幾個結論都可以通過獨立分布的相關性/協方差為0證明

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CQF笔记M1L5仿真和操作随机微分方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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