【线性代数】20 基变换，基变换公式，坐标变换公式
?前言：基變換在做圖像壓縮等計算的時候，經常用到?；儞Q和相似矩陣的定義也有非常密切的聯系：基變換的本質就是變換了基向量的一個關聯計算，在最小二乘的算法里面，通過選擇正確的基可以將計算進行簡化。
而正確的的特征向量和特征值的確定，又和本節的基變換互為相互印證的關系。
基變換的標準定義：
?基變換的實質是， 將某向量空間中的元素v 由有序基 F[w1,w2...vn] ?v=x1w1+x2w2 +...xnwn的線性組合，表示成另一有序基E[v1,v2,...vn]即v=y1v1+y2v2+...ynvn的線性組合
?
1基向量的來源
在二維向量空間有一個向量如下：
用單位基向量的縮放表示如下：【^i】和【^j】是單位基向量
我們可以隱含假設認為：
?【案，坐標2，表示向右運動，坐標3表述向上運動，基向量的單位表征運動的快慢】
由此，我們有如下定義：
[3,2]被稱為標準的坐標系下的向量，而【^i】和【^j】是這個標準坐標系的基向量
?2 不同的基向量的由來
如果我們定義一組不同的單位基向量作為構成向量空間的基礎，看看會發生什么？
例如：
我們在原來的向量空間，定義任意兩個向量，b1,b2，并把它作為單位基向量：?
【案，記住這個新的基向量在原有基向量空間的坐標后面要用到】
那么在這個新定義的坐標向量坐標系統里面，b1,b2變成了單位向量。
也就是原來的基向量[1,0]由[-1,1]代替了，而原來的基向量[1,0]由[2,1]這兩個新的基向量分別代替了。
【我們先稱呼這兩個變換后的基向量簡稱為斜的基向量，變換后向量空間為斜的向量空間，以便于簡化描述，這個斜向的向量空間，在參考視頻里面又叫做詹妮弗的向量空間】
在這個新定義的斜坐標系統里面，隱含假設發生了變化：
方向和單位長度都變化了。
?【案，注意為了對比向量坐標系統已經發生了變化，我們用平行四邊形的網格背景表述新的向量坐標系統空間】
兩個坐標系統，唯一相同的是可以擁有同一個原點：
?這樣，我們就構建了一個新的基向量的斜的坐標系統
3 基變換：
既然，構建了新的基向量坐標空間，那么，不同的坐標空間內，某一個空間內的向量如何在另外一個變換后的空間內找到位置呢？
比如：這個斜的基向量空間的[-1,2]向量，在我們原來標準的向量空間是哪個向量對應呢？
在斜的基向量空間，向量[-1,2]大致可以表述為下面這個圖：
現在，我們加上斜的基向量在原向量空間的坐標位置：
【案，注意，關鍵的聯系表述出現了，如下：】
我們在斜向變化后的向量空間取的任意向量[-1,2]，他在原來的向量空間的坐標，應該是通過這樣一個變換得到：
【案，解釋一下為啥是下面這個計算公式：1 向量在向量空間的張成位置，就是通過他的坐標長度*單位向量所得。 2 我們現在乘的單位向量的值，是已經經過轉變后到原來的正方形單位向量的向量空間的值，所以，出來的結果也是原來的向量空間的值，而不是斜的的向量空間】
【也就是通過上面這個乘積的變換，我們搞成了原來的坐標系】
【案，這里原視頻解釋不夠細致，我們可以理解為向量之間的一種線性變化的關系和聯系，而，這有點像點積的表達？？】
也就是：我們得到了斜向坐標系下[-1,2]變成了我們坐標系下[-4,1]的對應向量。
這里就是用某個向量的特定坐標與他的基向量數乘然后相加：
而這就是矩陣的向量乘法：
矩陣的向量乘法，可以理解為應用一個特定的線性變換【矩陣的列，就是變化后的新的基向量，他乘以新的坐標系下的某個特定向量，得到，我們原來變換前的向量的位置和值】
再仔細考慮上面這個思想：
1 首先-特定向量是基向量的特點線性組合：
2 變換后的向量仍然是線性組合的，不過使用的是新的基向量
3 然后思考，這個變換是在兩個不同的基空間進行：
并且，其實只是表述不同【類似于語言不同，表達的意思一樣】
?也就是【-1,2】在斜網格空間等價于【-4,1】在我們【原始】的空間的表述。
以上，我們完成了一個斜向空間【基向量不是單位向量的變更空間】內的一個矢量變換到之前我們的元素單位空間的例子。
====================================================================
那么，現在我們反過來呢？如果從一個原始的坐標系的向量坐標變換到斜向的坐標系下的坐標呢？
在第一節里面，我們有如下的一個向量：
?用單位基向量的縮放表示如下：【^i】和【^j】是單位基向量
步驟1：變換后的基向量是什么？
我們設定，變換后我們的兩個基向量分別是[2,1],[-1,1]
步驟2：原始 --》斜向的變化矩陣
于是從這兩個基向量構成的，我們稱為斜的向量空間，變換到之前元素的坐標用的變換矩陣：就是
?步驟3：斜向的變化矩陣 --》原始
這個顯然是步驟2的逆變換，而，一個變換的逆變換是一個新的變換，他是什么呢？
經過計算應該是右邊這個矩陣：
步驟4，現在我們把元素坐標下的向量，逆變換到斜向的向量空間。
?
【逆變換的矩陣乘法如上】?
這就是斜向向量空間里面和之前的[3,2]對應的那個向量。?
?
推而廣之：
右邊的式子，也可以用逆變換，或者說逆矩陣表述為：
?
?
?
舉例：
1 一個90度的選擇的坐標變換：
1.1 從原始坐標系統來理解：
用坐標變換，跟蹤一下，變換后的坐標：
并把這個坐標作為矩陣的列：
這里我們理解為：
?1.2 從斜的坐標空間來理解：
在斜向坐標系下有一個任意的向量：
我們通過基變換矩陣把他變換從我們原始的坐標系下的向量：
然后，我們再左乘，【90度旋轉的變換矩陣】
【注意，這樣變換的結果就是我們原來坐標系下，變化后的向量了】?
如果我們閑著蛋疼，想把這個向量再邊到斜向坐標系里面去，那么，只需要再左乘一個原來變換的逆矩陣，就可以了。
?
【OK，如果我們把這些變換都放到一起，如上，我們就實現了一個在斜向的向量空間下，對任意給定的斜向坐標系下的向量的一個90度的翻轉變換】
然后，我們可以計算和化簡這個變換，最后得到，
【注意，這里變換的矩陣分別出現了兩次，一次是左乘的逆矩陣，一次是右乘的矩陣】
于是可以拿來和任意一個想要翻轉的向量來相乘，實現變換【在斜向向量空間下】
?本例，這個給出的要變換的向量是[1,2]
于是有：如下的左乘計算完成了這個變換，
推而廣之：
?
M就是你要的變換，A則表示你的數學上或者說空間上的轉移作用的轉移矩陣。
【案，轉移矩陣必定為非奇異的(滿秩)的】
?推而廣之，上面的式子其實也是一個相似變化的定義很像：
再推而廣之，
矩陣的化簡，可以通過對角化來實現矩陣化簡。而能否對角化，又是通過判斷和特征向量有關。這一個概念的聯系，應該在下一節會介紹。
?
2 基變換公式
【案，這里從數學角度再推導一下】
【基變換公式，就是基向量變換公式】?
在說明之前，先預備一下知識：就是向量的線性表出的三種形式記號：
【案，形式3 ，和形式1都是向量的線性表述的寫法】
如果推而廣之到一個多維的向量組，那么有，
?3 坐標變換公式
例題1：
理解了上述概念后，我們來做一道實際的例題，加深一下印象：
【案，這里有序基就是可以看出是一個基向量】?
?
?
【這個例子，將兩個有序基的轉換表述出來，這里表述了用有序基[1,x,x^2]來表述有序基[1,2x,4x^2-2],這里基向量就是有序基，而這樣就可以寫出他對應的系數矩陣，注意這里是按照行的方式寫，不影響結果】?
【也就是完成了一個從[1,2x,4x^2-2], 到 [1,x,x^2]的轉換】
?
而，反過來，
?
計算得到他的逆矩陣為：
然后，我們給的P3任意一個p(x),【也就是我們前面討論的，一個向量空間的某一個任意向量】?
【案，注意這里這個通用方程的系數[a,b,c]，就是我們要給出的任意向量的值】?
求他對應于：【基向量】的坐標，
按照之前討論，我們只需要用變換矩陣去左乘給出的任意向量，就可以完成這個向量的空間變換，也就是，
?
這個就是基于新的基向量的方程形式。
?
?例題2，
?上面推導如下：
由此，
由此
所以，
所以，
如果，換成基向量的變化，也就有：
?
?
?
?
?
?
詞匯：
1implicit assumptions? ? ? ? ????????隱含假設
2change of basis matrix? ? ? ? 基變換矩陣
參考：
?【官方雙語/合集】線性代數的本質 - 系列合集_嗶哩嗶哩_bilibilihttps://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=13
(46條消息) 關于基變換_weixin_33725807的博客-CSDN博客https://blog.csdn.net/weixin_33725807/article/details/86252992?spm=1001.2101.3001.6650.5&utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromBaidu%7Edefault-5.no_search_link&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromBaidu%7Edefault-5.no_search_link(57條消息) 線性代數【１０】 相似矩陣_山云的專欄-CSDN博客https://dimensionspacex.blog.csdn.net/article/details/121491943
(46條消息) 基變換和坐標變換_大哉數學之為用-CSDN博客_基變換和坐標變換https://blog.csdn.net/Daniel_tanxz/article/details/89135594?spm=1001.2101.3001.6650.9&utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromBaidu%7Edefault-9.no_search_link&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromBaidu%7Edefault-9.no_search_link
旋轉矩陣（Rotation Matrix）的推導及其應用 - meteoric_cry - 博客園 (cnblogs.com)https://www.cnblogs.com/meteoric_cry/p/7987548.html
?
總結
以上是生活随笔為你收集整理的【线性代数】20 基变换，基变换公式，坐标变换公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
- 上一篇： 2022年最新西藏机动车签字授权人模拟考
- 下一篇： C语言读取易语言的字节集,易语言字节集参