?????? 原文鏈接：中國統計網-譜聚類、Chameleon聚類

?????? A是n × n矩陣，λi是其特征值，i = 1，2，……，n。稱ρ(A)=max{|λi|,i=1,2,……n}為A的譜半徑。即矩陣A的譜半徑等于矩陣A的特征值的模的最大值；若特征值為虛數，則譜半徑為實部與虛部的平方和的開方。

4、譜聚類

?????? 一般說到譜聚類，都是從降維(Dimensionality?Reduction)或者是圖分割(Graph?Cut)的角度來理解。但是實際上，從物理學的簡正模式的角度，可以更為直觀地理解這個算法的本質。

?????? 這里先把基本的算法步驟寫出來，然后再討論算法的原理。

譜聚類基本步驟：

??????1、給出N個數據點兩兩之間的相似性。也就是一個N*N的相似性矩陣A，A(i,j)代表i和j兩個數據點的相似度，數值越大則表示越相似。注意A(i,j)=A(j,i)，A(i,i)=0。

??????2、計算矩陣D，使它的對角元是A矩陣的對應的那一列（或行）的值之和，其余地方為0。也就是使得

??????

??????3、令B=D-A

??????4、求B矩陣的前k個本征值和本征矢，將數據點投影到一個k維空間。第i本征矢的第j個值，就表示第j個數據點在k維空間中第i維的投影。就是說如果把k個特征矢量并成一個N*k的矩陣，則每一行代表一個數據點在k維空間的坐標。

??????5、根據每個數據點的k維空間坐標，使用K-means或者其它聚類算法在k維空間對數據進行聚類。

??????從算法的第4、5步就可以看出，譜聚類的本質實際上就類似于PCA，先將數據點投影到一個更能反映數據特征的空間，然后再用其它辦法進行聚類。這也就是一種降維的思想（實際上也可能是升維）。那么問題的關鍵就在于，它把數據點投影到什么空間去了？為什么這個空間更能反映數據特征？這個問題可以從圖分割的角度來理解（看這里），不過我這里要從簡諧振動的角度來討論這個問題，這也是一個更為直觀的理解。

??????Python的幾行代碼：

????

<span style="font-family:Times New Roman;">#獲取聚類中心 def spectralProject(M):#計算矩陣D，使它的對角元是A矩陣的對應的那一列（或行）的值之和，其余地方為0。#也就是使得 D[i,i] = A[i,j]D =np.zeros((Len(M),Len(M) ),dtype=float32 );for i in range(Len(M) ):for j in range(Len(M) ):D[i,i] += M[i,j];#令B =D-AB = D - M;#M[1,2]#求B矩陣的前k個本征值和本征矢，將數據點投影到一個k維空間。#第i本征矢的第j個值，就表示第j個數據點在k維空間中第i維的投影。eVals, eVecs = np.linalg.eig(A);#根據每個數據點的k維空間坐標，使用K-means或者其它聚類算法在k維空間對數據進行聚類。ClusterCenters= eVecs;return ClusterCenters;#譜聚類的本質實際上就類似于PCA，先將數據點投影到一個更能反映數據特征的空間，#然后再用其它辦法進行聚類。這也就是一種降維的思想（實際上也可能是升維）。 def spectralClustering(M ,dataSet, k):ClusterCenters= spectralProject(M);#根據每個數據點的k維空間坐標，使用K-means或者其它聚類算法在k維空間對數據進行聚類。centroids, clusterAssment = km.kMeans(dataSet, k, distMeas=distEclud, createCent=ClusterCenters);return centroids, clusterAssment;</span>

簡正模式

??????說起簡諧振動，學過高中物理的童鞋都不會陌生：兩個小球連上一根彈簧，就是最簡單的簡諧振動模型。為了簡單起見，寫成一維的形式，而且彈簧的平衡距離設為0，于是，當小球的坐標給定時，彈性勢能就是

??????我們把上面那個算法套用在這個例子上試試，兩個小球的“相似度”就看成是它們之間彈簧的彈性系數k，k越大，小球之間的關系自然就越緊密了。這樣上面要求的矩陣就是

??????????

??????給出整個系統的坐標矢量，容易證明

??????B只有兩個本征矢量，分別是

????

???????這兩個本征向量就代表了體系的兩個簡正運動模式，向量中的值表示對應的小球在這個運動模式中的運動方向。比如p1之中兩個小球往同一個方向運動，這其實是系統的整體平動，對應的本征值為0；p2則表示兩個小球往相反方向運動，這就符合我們想象中這兩個小球的簡諧振動了。

???????究竟什么是簡正運動模式？為什么用上面的方法就能得到系統的簡正運動模式呢？其實所謂的簡正模式，就類似于傅立葉分析里面，用來將原函數展開的那組相互正交的基函數組。這里所使用的，就是簡諧振動這樣的一種基組，將整個系統的復雜運動表示為這些簡正模式的疊加。

???????無論我們有多少個小球，只要小球之間是以彈簧相連的，那么根據它們之間的連接方式，總是可以將系統的勢能表示為

???????但是，我們希望的是將運動方式去耦合，寫成多個簡正模式之和，也就是

所以需要對原來的B矩陣對角化，而對角化過程中得到的本征矢量和本征值，也就是所要求的簡正模式以及它們的頻率的平方值。

??????上面說了那么多關于簡正模的東西，可是到底為什么要求簡正模呢？這是因為譜聚類的目的是要找到一個能很好地反映數據點特征的空間，然后在新空間中進行聚類。試著想象一下，如果兩個數據之間相似性很大，那么也就是說它們之間的“彈簧”彈性系數很大，就跟用一個棒子連起來一樣，那么自然在運動的時候，它們就會傾向于往同一個方向運動。類似地，如果一堆數據點之間很相似，那么它們就會形成一個rigid的整體，就像一個剛體一樣，剛體內部的小球喜歡一起動。而兩個剛體之間，則會產生簡諧運動，傾向于往不同的方向運動。

???????用一個簡單的例子來說明這個現象，我們可以想象6個小球，分成對稱的兩組123和456，組內小球兩兩之間連在一起，兩組之間則在3和4間有一根彈簧相連。這樣一個結構，很明顯應該是分為123和456兩組。如果我們使用譜聚類，那么相似矩陣和求得的本征矢量如下

????????

這里只列出本征值最小的前4個本征矢量：第一個一樣是整體平動，沒有什么意義；第二個表示兩組小球之間的相對運動，兩組小球往不同方向運動，這是我們想要得到的結果；第三、四個表示每組小球內部的相對運動。

???????在這個結構里，組內部的相對運動相比起組間運動是很弱的，這可以從它們對應的本征值看出來。根據能均分定理，能量應該在每個簡正模式之間均分，所以模式的振幅反比于它們的頻率，也就是跟本征值的開方的倒數成正比，這里A2:A3:A4~3:1:1。這其實也就告訴了我們，對傳統的譜聚類算法可以根據它的物理意義進行改進，根據本征值對本征矢量進行加權，而不是同一對待。這樣，不重要的模式即便被考慮進來，因為振幅很小，所以也不會對結果產生什么影響。這樣，我們在算法的第4步，考慮k個本征矢量來進行投影時，就不用擔心會多取了多余的本征矢了，而且也可以根據本征值譜的變化來判斷k的合理取值，就像在層次聚類中那樣。

???????對PCA比較熟悉的童鞋，會發現這個方法在形式上跟主元分析有類似的地方。其實簡正模分析和PCA是兩個相反的思路，簡正模是根據系統的性質來推斷系統的特征運動模式，而PCA則是根據系統的運動結果來得到特征方向。一個是從原理來進行推斷，一個則是從結果來進行反推。

聚類結果

???????使用譜聚類對樣品1進行聚類，可以得到下圖。兩個結果分別對應聚類數目k取為3和8的情況，可以看到并不會像K-means那樣把大的cluster分離，只會把少量異常點分離出去，總體的聚類結果十分穩定。因為算法最后還是使用了K-means進行聚類，所以我們可以想象譜聚類在投影到新空間的時候，應該是很好地把不同的cluster遠遠地分離了開來。

???????可惜，譜聚類對特殊形狀的cluster的聚類效果依然不盡如人意。不過相比起K-means這樣的算法，譜聚類已經辨認出一些形狀信息了（有成環狀的cluster，而不是都是球型的）。

???????譜聚類聚類的效果比較好，性能也比較穩定。算法需要的輸入只是相似矩陣，不需要數據點的坐標矩陣，適用性也較廣。一個潛在的問題是，如果數據量很大的話，對大矩陣的對角化可能會導致算法效率低下。但是如果是稀疏矩陣的情況，只計算前k個本征矢量和本征值的效率還是很高的。所以譜聚類算法總體而言是一個不錯的選擇。

5、Chameleon聚類

??????之前介紹的三個算法都沒辦法分辨出樣品2的甜甜圈，而這次介紹的chameleon算法則可以說是專門用來干這活的。下面是算法的提出者在他們的文獻中給出的一些測試組，可以看到這個算法就是對各類奇葩形狀都應對自如……

???????我們不妨來想當然地考慮一下，怎樣才能識別出甜甜圈結構的cluster。簡單起見，考慮最極端的情況，假設數據的噪聲不是像樣品2那么大，而是分界很明顯的三個環帶。想象我們把一只甲蟲放在了其中一個環帶上，甲蟲的視野很小，而且它會隨機地走到它能看到的數據點上。如果環帶之間的間距足夠大，那么甲蟲就不會走到其它環帶上。最后，甲蟲能走到的區域就是一個環形的cluster。

???????上面這個問題的關鍵就在于，要主動地把甲蟲的視野變小，也就是根據近鄰數據來進行聚類，然后不斷延伸。這其實也就類似于層次聚類中的single-linkage，實際上single-linkage也確實可以識別出樣品2。

???????但是這樣會帶來新的問題，比如對于下面的情況。在fig?4中，如果只看最近鄰的連接，算法會傾向于合并c、d而不是a、b，又或者說，如果甲蟲的視野足夠大到會合并a和b，那么c和d也就一定會被看作一個cluster。但事實上，a、b的鄰接區域較大，距離也不遠（相對于a、b內部），所以是應該被認為是屬于同一個cluster，而c、d則顯然不應該被看作一類。fig?5則表示另外一種情況，就是過分強調鄰接區域的大小，這樣就會傾向于把a與c進行合并，而不是與b合并。

???????Chameleon算法就是努力在這兩種情況之間保持平衡，既考慮Closeness，即近鄰節點的靠近程度，也考慮Inter-Connectivity，即鄰接區域的大小。

???????Chameleon本質上也是一個從下而上的層次聚類算法，不過它只考慮每個節點鄰近的K個節點（K由用戶給定），也就是說，只有最接近節點的其它K個節點會被認為與節點存在連接。兩個節點越“接近”，連接強度越強。兩個cluster的“距離”由兩個參量決定：relative?inter-connectivity和relative?closeness。

Relative?Inter-Connectivity

cluster?i和j的relative?inter-connectivity表征了他們之間鄰接區域的大小，其中EC{Ci,Cj}表示跨越i和j的所有連接的強度之和，EC{Ci}表示將cluster?i分割為大小接近的兩部分所需要切斷的連接的強度值和。

Relative?Closeness

cluster?i和j的relative?closeness表征了他們之間近鄰連接的強度，其中SEC{Ci,Cj}表示跨越i和j的所有連接的強度平均值，SEC{Ci}表示將cluster?i分割為大小接近的兩部分所需要切斷的連接的強度平均值。

最后，兩個cluster之間的距離為

a是用來調節兩個參量的比重的參數。

聚類結果

???????因為原算法需要使用一些額外的算法來進行圖分割，我這里只是使用了一個簡化版本的Chameleon算法，使用了絕對的inter-connectivity和closeness，沒有對cluster的大小進行normalization（也就是沒有考慮上面兩條式子中的分母）。

???????對樣品1進行聚類，分別取聚類數目k=5和8。類似于譜聚類，Chameleon算法也可以穩定地對數據進行聚類，不會對k的選擇過分敏感。

???????經過多次的調整參數，我也終于把樣品2的cluster給識別了出來……

?????? 從算法的角度來說，Chameleon可以用于識別形狀特別的cluster，但是實際上調整參數殊為不易（當然這也跟我使用簡化版算法有關），而且關鍵是層次聚類的效率終歸不高。所以Chameleon可以在一些特殊的場合使用，個人認為不是一個十分通用的算法。

? （這篇日志是這個系列里算法部分的最后一篇，關注的是幾個相對另類一點的聚類算法：PCCA、SOM和Affinity?Propagation。PCCA是設計來專門用于馬爾科夫模型的一種聚類算法；SOM是基于神經網絡模型的自組織聚類；最后的Affinity?Propagation則是在07年才在Science發表的一種較新穎的算法。）

6、PCCA

??????PCCA算法的全稱是Perron?Cluster?Cluster?Analysis，名稱里有兩個cluster是因為這樣簡寫就可以和PCA區分開來（無語……）。PCCA并不是設計來處理傳統的聚類問題的，而是專門用于得到馬爾科夫鏈中的cluster。當然，對于一般的聚類問題，只要根據系統特點構造出一個概率轉移矩陣，也可以使用PCCA算法。

???????要解釋馬爾科夫模型中的cluster，讓我們想象有一只跳蚤在了數據點間跳躍轉移。它下一個時刻跳到特定數據點上的概率，只跟它當前落在哪個數據點上有關，這顯然是一個經典的馬爾可夫過程。再讓我們假定，跳蚤在點與點之間的躍遷概率跟數據點的“距離”成反比。如果數據點可以分成幾個分界明顯的cluster，跳蚤大多數時間就只會在某個cluster內部的數據點間轉移，在cluster之間的跳躍則相對罕見。

???????先解釋一下馬爾科夫模型的一些性質。馬爾科夫模型需要的是一個轉移矩陣A，元素A(i,j)表示系統從狀態i轉移到狀態j的概率。矩陣的每一列元素之和必須為1，這是因為轉移概率總和必須為1。轉移矩陣有一個本征值為1的本征矢量，對應著系統的穩態，亦即系統到達這個狀態后，它在各個狀態的概率分布就不會再發生變化。

???????為了說明PCCA的原理，我們直接來考慮最為極端的情況，也就是系統由幾個完全分離的cluster所構成。對于最為極端的情況，如果系統只能在cluster內部轉移，而完全不會在cluster之間轉移，那么轉移矩陣A就會是分塊矩陣的形式，比如下面的系統就可以分為兩個完全不連通的cluster，如下面的矩陣。

??????這樣的一個矩陣存在著不止一個本征值為1的本征矢量，因為它的每個分塊都可以看做一個轉移矩陣，都會對應著一個穩態。比如對于上面的矩陣A，下面兩個本征矢的本征值都為1。

??????

??????如果我們得到的矢量都是這樣的理想形式，那么聚類就很簡單了，只要得到本征值為1的全部本征矢，把對應的元素大于0的數據點歸為一類就可以。十分可惜的是，由于這兩個本征矢量是簡并的，它們線性疊加產生的矢量也是矩陣的本征值為1的本征矢量，比如這個矢量：

??????因此PCCA算法的思路，就是要從計算得到實際本征矢量，反推得到理想矢量，從而實現聚類。

???????如果將計算得到的k個本征值為1的本征列矢量并排合并，成為一個N*k的矩陣，那么矩陣的每一行可以看成對應與數據點的一個坐標。對于理想本征矢（對應下圖藍色基矢），數據點都是落在坐標軸上（因為除了所屬的cluster所對應的那個本征值，其余的維度都是0），比如下圖的紅色和黃色的數據點。但是由于實際得到的本征矢量是理想本征矢的線性疊加，所以基矢就發生了旋轉（對應黑色基矢）。

??????盡管如此，每個cluster的數據點落在一條直線上的性質并沒有發生改變。現在的問題就變成了如何找到這些直線的方向。PCCA首先找到離原點最遠的數據點，這個點相對于原點的矢量，就對應了一個理想本征矢。然后每一次都找與已知的理想矢量垂直（相對原點），而又離原點最遠的數據點。只要找k次，就能找到所有的理想矢量。最后看數據點落在哪個方向上，就可以知道它們屬于哪個cluster。實際情況下，矩陣并不會是完全的分塊矩陣，所以除了第一個本征矢，其余本征矢量對應的本征值不會完全為1，而是接近于1。cluster之間的轉移幾率越小，這個算法的準確性自然越高。

聚類結果

???????PCCA算法的一個優點就是，它可以根據本征值來直接得到cluster的數目，有多少個接近于1的本征值就應該分多少個cluster。當然這也是一個限制，聚類數目不能隨意給定，完全由數據性質決定，如果cluster的分界不明顯，那么可能聚類就完全無效。

???????下面是PCCA對樣品1的聚類結果。第一幅圖是由算法自動判定聚類數目，正好為3，聚類十分成功；第二幅圖是人為地要求分為4個cluster，結果算法就基本失效了。

???????PCCA是除了Chameleon算法外，對樣品2聚類結果最好的一個算法。不過它并不能正確地判斷出cluster的數目，總共劃分出了7個cluster，這里顯示了前5個。

???????PCCA可以自動判定cluster數目，而且也能得到非凸型的cluster，還可以適用于概率轉移矩陣的聚類，看上去確實是一個性能比較好的聚類算法。不過，PCCA對數據的性質特征有比較強的預設，當數據性質偏離理想狀況較遠時，算法的穩定性有待考驗。

7、SOM

??????之所以嘗試SOM聚類，主要是因為這是基于神經網絡的一種算法，而神經網絡本身又是機器學習中的一個重要方法，所以就自己實踐一下體會體會。

???????所謂SOM指的是Kohonen提出的競爭網絡，全稱是self-organizing?map。這個算法有著非常多的改進和變種，在網絡的拓撲結構、節點之間的反饋方式等方面各有不同。更一般地說，SOM應該是一個降維算法，它可以將高維的數據投影到節點平面上，實現高維數據可視化，然后也可以繼續根據降維之后的數據再進行聚類，就像譜聚類一樣。不過，因為這里僅僅是個人的算法嘗試，所以我就使用最簡單的方式，直接使用SOM進行聚類。

???????競爭網絡，顧名思義就是網絡節點相互競爭。對于每一個輸入的數據點，網絡節點都要進行競爭，最后只有一個節點獲勝。獲勝節點會根據贏得的數據點進行演化，變得與這個數據點更匹配。如果數據可以明顯地分為多個cluster，節點變得跟某個cluster內的數據點更為匹配，一般而言就會跟其它cluster不太匹配，這樣其它節點就會贏得了其它cluster的數據點。如此反復學習，每個節點就會變得只跟特定的一個cluster匹配，這樣就完成了數據點的聚類。

???????SOM需要輸入數據點的坐標矩陣，對應的，每個網絡節點也有一個坐標，初始時刻隨機賦值。每次輸入一個數據點，與這個數據距離最近的節點獲勝，獲勝點的坐標向著這個數據點的方向偏移。聰明的看官們肯定發現了，這個簡單化的SOM算法跟K-means算法思路基本一致，確實一些文章也提到，在節點數目偏少的情況下SOM的結果就類似于K-means。

聚類結果

???????SOM的聚類結果確實跟K-means比較類似，不過當聚類數目取為4時，經常也能正確的結果，而不會聚成4個cluster，這個跟學習時間以及節點的初始值有關。這應該是因為SOM的學習方式與K-means直接求平均不同。至于對樣品2的聚類，SOM也跟K-means類似，就不貼出來了。

???????這個SOM聚類只是個人試水，并不能真正代表SOM聚類的最佳效果，僅作參考。

8、Affinity?Propagation

???????Affinity?Propagation（簡稱AP）是一個比較新的算法，在07年發表在Science上面，可見肯定是有一些獨到之處的。

???????個人認為，AP算法的具體實現步驟沒有很直觀的物理意義，大致上就是一個網絡自動演化的過程，實現起來也并不復雜。感興趣的童鞋可以直接到算法作者的網頁，上面也提供了各個版本的實現程序，可以直接拿來使用。

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這里我就不詳細地敘述算法的實現步驟了，只是介紹一下這個算法的一些特點。

1）AP只要求輸入數據點之間相似性矩陣，而且還不需要是對稱陣。從這個角度來說，適用范圍非常大。

2）AP算法的核心是對于每個cluster找到一個代表數據點exemplar，使得cluster內其它數據點到這個點的距離平方和最小。這是AP算法的一個很大的優點，因為它不僅能完成聚類，還可以給出這個類別的代表。很多時候我們聚類也就是為了找出代表而已。

3）AP算法不能直接知道聚類的數目，它不僅不能判定合適的聚類數目，甚至在聚類完成前，用戶都不知道這次會聚出多少個cluster來，只能自己慢慢調整參數，多次嘗試……

???????AP算法的目標函數跟K-means類似，不過中心點不是平均值，而是真實的一個數據點。其實這個算法可以說是K-centers的一個高效實現，但歸根到底得到的也就是K-centers最佳情況下的結果而已，跟K-means也類似，都是大小接近的凸型cluster，所以我就不貼結果了。可以說，當你想得到K-centers的結果時，AP算法是你的最佳選擇，但如果你的目標不在于此，那就不要用這個方法了。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的谱聚类、Chameleon聚类、PCCA、SOM、Affinity Propagation的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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