點積有兩種定義方式：代數方式和幾何方式。通過在歐氏空間中引入笛卡爾坐標系，向量之間的點積既可以由向量坐標的代數運算得出，也可以通過引入兩個向量的長度和角度等幾何概念來求解。[1]

廣義定義

在一個向量空間V中，定義在

上的正定對稱雙線性形式函數即是V的數量積，而添加有一個數量積的向量空間即是內積空間。

代數定義

設二維空間內有兩個向量

和

，定義它們的數量積（又叫內積、點積）為以下實數：

更一般地，n維向量的內積定義如下：[1]

幾何定義

設二維空間內有兩個向量

和

，它們的夾角為

，則內積定義為以下實數：[2]

該定義只對二維和三維空間有效。
這個運算可以簡單地理解為：在點積運算中，第一個向量投影到第二個向量上（這里，向量的順序是不重要的，點積運算是可交換的），然后通過除以它們的標量長度來“標準化”。這樣，這個分數一定是小于等于1的，可以簡單地轉化成一個角度值。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的内积（又名点积）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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