1 Linear Discriminant Analysis

相較于FLD（Fisher Linear Decriminant），LDA假設:1.樣本數據服從正態分布，2.各類得協方差相等。雖然這些在實際中不一定滿足，但是LDA被證明是非常有效的降維方法，其線性模型對于噪音的魯棒性效果比較好，不容易過擬合。

2 二分類問題

原理小結：對于二分類LDA問題，簡單點來說，是將帶有類別標簽的高維樣本投影到一個向量w（一維空間）上，使得在該向量上樣本的投影值達到類內距離最小、類內間距離最大（分類效果,具有最佳可分離性）。問題轉化成一個確定w的優化問題。其實w就是二分類問題的超分類面的法向量。類似于SVM和kernel PCA，也有kernel FDA，其原理是將原樣本通過非線性關系映射到高維空間中，在該高緯空間利用FDA算法，這里的關鍵是w可以用原樣本均值的高維投影值表示，這樣可以不需知道具體的映射關系而給出kernel的形式就可以了。和PCA一樣，FDA也可以看成是一種特征提取（feature extraction）的方法，即將原來的n維特征變成一維的特征了（針對該分類只要有這一個特征就足夠了）。

我們將整個問題從頭說起。

問題：PCA、ICA之余對樣本數據來言，可以是沒有類別標簽y的。回想我們做回歸時，如果特征太多，那么會產生不相關特征引入、過度擬合等問題。我們可以使用PCA來降維，但PCA沒有將類別標簽考慮進去，屬于無監督的。舉一個例子，假設我們對一張100*100像素的圖片做人臉識別，每個像素是一個特征，那么會有10000個特征，而對應的類別標簽y僅僅是0/1值，1代表是人臉。這么多特征不僅訓練復雜，而且不必要特征對結果會帶來不可預知的影響，但我們想得到降維后的一些最佳特征（與y關系最密切的），怎么辦呢？

回顧我們之前的logistic回歸方法，給定m個n維特征的訓練樣例（i從1到m），每個對應一個類標簽。我們就是要學習出參數，使得（g是sigmoid函數）。

首先給定特征為d維的N個樣例，，其中有個樣例屬于類別，另外個樣例屬于類別。現在我們覺得原始特征數太多，想將d維特征降到只有一維，而又要保證類別能夠“清晰”地反映在低維數據上，也就是這一維就能決定每個樣例的類別。假設這個最佳映射向量為w（d維），那么樣例x（d維）到w上的投影可以表示為

為了方便說明，假設樣本向量包含2個特征值（d=2），我們就是要找一條直線（方向為w)來做投影，然后尋找最能使樣本點分離的直線。如下圖：

直觀上，右圖相較于左圖可以在映射后，更好地將不同類別的樣本點分離。

接下來我們從定量的角度來找到這個最佳的w。

首先，每類樣本的投影前后的均值點分別為(此處樣本總數C=2),Ni表示每類樣本的個數：

由此可知，投影后的的均值也就是樣本中心點的投影。

什么是最佳的投影向量w呢？我們首先發現，能夠使投影后的兩類樣本均值點盡量間隔較遠的就可能是最佳的，定量表示就是：

J(w)越大越好。但是只考慮J(w)行不行呢？不行，看下圖

樣本點均勻分布在橢圓里，投影到橫軸x1上時能夠獲得更大的中心點間距J(w)，但是由于有重疊，x1不能分離樣本點。投影到縱軸x2上，雖然J(w)較小，但是能夠分離樣本點。因此我們還需要考慮樣本點之間的方差，方差越大，樣本點越難以分離。我們使用另外一個度量值——散列值（Scatter）。對投影后的類求散列值，如下

從公式中可以看出，只是少除以樣本數量的方差值，散列值的幾何意義是樣本點的密集程度，值越大，越分散，反之，越集中。而我們想要的投影后的樣本點的樣子是：不同類別的樣本點越分開越好，同類的越聚集越好，也就是均值點間距離越大越好，散列值越小越好。正好，我們可以使用J(w)和S(w)來度量。定義最終的度量公式：

接下來的事就比較明顯了，我們只需尋找使J(w)最大的w即可。展開散列值公式：

定義:

該協方差矩陣稱為散列矩陣（Scatter matrices）。利用該定義，上式可簡寫為：

定義樣本集的Within-Class Scatter Matrix——類內離散度矩陣為：

使用以上3個等式，可以得到

展開分子：

稱為Between-Class Scatter Matrix即類間離散度矩陣。是兩個向量的外積，是個秩為1的矩陣。

那么J(w)最終可以化簡表示為：

在我們求導之前，需要對分母進行歸一化，因為不做歸一的話，w擴大任何倍，都成立，我們就無法確定w。這里w并不是唯一的，倘若w對應J(w)的極大值點，則a*w仍舊可以達到J(w)的極大值點。

令，即目標函數J(w)化簡為等于其分子部分，且受約束。加入拉格朗日乘子并求導得到：

利用矩陣微積分，求導時可以簡單地把當做看待。如果可逆（非奇異），那么將求導后的結果兩邊都乘以，得

這個可喜的結果就是w就是矩陣的特征向量了。這個公式稱為Fisher Linear Discrimination。

等等，讓我們再觀察一下，發現前面的公式

那么

代入最后的特征值公式得

由于對w擴大縮小任何倍不影響結果，因此可以約去兩邊的未知常數和，得到

至此，我們只需要求出原始樣本的均值和方差就可以求出最佳的方向w，這就是Fisher于1936年提出的線性判別分析。

看上面二維樣本的投影結果圖：

3 多分類情形

假設類別變成多個了，那么要怎么改變，才能保證投影后類別能夠分離呢？我們之前討論的是如何將d維降到一維，現在類別多了，一維可能已經不能滿足要求。假設我們有C個類別，將其投影到K個基向量。

將這K個向量表示為，投影上的結果表示為，簡寫之：

為了像上節一樣度量J(w)，我們打算仍然從類間散列度和類內散列度來考慮。為了便于分析，假設樣本向量包含2個特征值時，從幾何意義上考慮：

其中和與上節的意義一樣，是類別1的樣本點相對于該類中心點的散列程度。變成類別1中心點相對于樣本中心點的協方差矩陣，即類1相對于的散列程度。

為

其中

需要變，原來度量的是兩個均值點的散列情況，現在度量的是每類均值點相對于樣本中心的散列情況。類似于將看作樣本點，是均值的協方差矩陣。如果某類里面的樣本點較多，那么其權重稍大，權重用Ni/N表示，但由于J(w)對倍數不敏感，因此使用Ni即可。

其中

是所有樣本的均值。

我們可以知道矩陣的實際意義是一個協方差矩陣，這個矩陣所刻畫的是該類與樣本總體之間的關系。矩陣對角線元素是該類相對樣本總體的方差（即分散度），非對角線元素是該類樣本總體均值的協方差（即該類和總體樣本的相關聯度或稱冗余度），即是各個樣本根據自己所屬的類計算出樣本與總體的協方差矩陣的總和，這從宏觀上描述了所有類和總體之間的離散冗余程度。同理為分類內各個樣本和所屬類之間的協方差矩陣之和，它所刻畫的是從總體來看類內各個樣本與所屬類之間（這里所刻畫的類特性是由是類內各個樣本的平均值矩陣構成）離散度，其實從中可以看出不管是類內的樣本期望矩陣還是總體樣本期望矩陣，它們都只是充當一個媒介作用，不管是類內還是類間離散度矩陣都是從宏觀上刻畫出類與類之間的樣本的離散度和類內樣本和樣本之間的離散度。

上面討論的都是在投影前的公式變化，但真正的J(w)的分子分母都是在投影后計算的。下面我們看樣本點投影后的公式改變：

這兩個是第i類樣本點在某個基向量上投影后的均值計算公式。

下面兩個是在某個基向量上投影后的和

其實就是將換成了。實際上，2類問題和也是基于上列2個式子算出，只不過使用的為化簡形式。

綜合各個投影向量（w）上的和，更新這兩個參數，得到

W是基向量矩陣，是投影后的各個類內部的散列矩陣之和，是投影后各個類中心相對于全樣本中心投影的散列矩陣之和。回想我們上節的公式J(w)，分子是兩類中心距，分母是每個類自己的散列度。現在投影方向是多維了（好幾條直線），分子需要做一些改變，我們不是求兩兩樣本中心距之和（這個對描述類別間的分散程度沒有用），而是求每類中心相對于全樣本中心的散列度之和。

然而，最后的J(w)的形式是

由于我們得到的分子分母都是散列矩陣，要將矩陣變成實數，需要取行列式。又因為行列式的值實際上是矩陣特征值的積，一個特征值可以表示在該特征向量上的發散程度。因此我們使用行列式來計算（此處我感覺有點牽強，道理不是那么有說服力）。

整個問題又回歸為求J(w)的最大值了，同理我們“固定”分母為1，然后求導，得出最后結果：

與上節得出的結論一樣：

最后還歸結到了求矩陣的特征值上來了。首先求出的特征值，然后取前最大的K(投影向量的個數)個特征向量組成W矩陣即可。注意：由于中的秩為1，因此的秩至多為C（類的個數C，矩陣的秩小于等于各個相加矩陣的秩的和）。由于知道了前C-1個(ui-u0)后，最后一個uc-u0可以有前面的來線性表示（見第2部分推導），因此的秩至多為C-1。那么投影向量個數K最大為C-1，即投影后，樣本特征向量維度最為C-1。特征值大的對應的特征向量分割性能最好。

由于不一定是對稱陣，因此得到的K個特征向量不一定正交，這也是與PCA不同的地方。

將3維空間上的球體樣本點投影到二維上，W1相比W2能夠獲得更好的分離效果。

4.若干問題

4.1 類內離散度矩陣為奇異陣

即此種情況一般發生在小樣本問題上，即樣本的維度少于樣本的個數。先經過PCA降維再用LDA。

4.2 多類問題目標函數為什么選擇行列式

看原文解釋：

4.3 與PCA比較

(1)PCA無需樣本標簽，屬于無監督學習降維；LDA需要樣本標簽，屬于有監督學習降維。二者均是尋找一定的特征向量w來降維的，其中，LDA抓住樣本的判別特征，PCA則側重描敘特征。概括來說，PCA選擇樣本點投影具有最大方差的方向，LDA選擇分類性能最好的方向。

 (2)PCA降維是直接和特征維度相關的，比如原始數據是d維的，那么PCA后，可以任意選取1維、2維，一直到d維都行（當然是對應特征值大的那些）。LDA降維是直接和類別的個數C相關的，與數據本身的維度沒關系，比如原始數據是d維的，一共有C個類別，那么LDA降維之后，一般就是1維，2維到C-1維進行選擇（當然對應的特征值也是最大的一些）。要求降維后特征向量維度大于C-1的，不能使用LDA。
   對于很多兩類分類的情況，LDA之后就剩下1維，找到分類效果最好的一個閾值貌似就可以了。舉個例子，假設圖象分類，兩個類別正例反例，每個圖象10000維特征，那么LDA之后，就只有1維特征，并且這維特征的分類能力最好。

（3）PCA投影的坐標系都是正交的，而LDA根據類別的標注關注分類能力，因此不保證投影到的坐標系是正交的（一般都不正交）

具體參考【5】【7】。PCA和LDA的投影實例如下。

4.4 使用限制

(1)LDA至多可生成C-1維子空間

LDA降維后的維度區間在[1,C-1]，與原始特征數n無關，對于二值分類，最多投影到1維。

(2)LDA不適合對非高斯分布樣本進行降維。

LDA假設數據服從單峰高斯分布，比如上面面的復雜數據結構，則難以處理。上圖中紅色區域表示一類樣本，藍色區域表示另一類，由于是2類，所以最多投影到1維上。不管在直線上怎么投影，都難使紅色點和藍色點內部凝聚，類間分離。

（3）LDA在樣本分類信息依賴方差而不是均值時，效果不好。

上圖中，樣本點依靠方差信息進行分類，而不是均值信息。LDA不能夠進行有效分類，因為LDA過度依靠均值信息。

（4）LDA可能過度擬合數據。

5 LDA的變種

 （1）非參數LDA。非參數LDA使用本地信息和K臨近樣本點來計算,使得是全秩的，這樣我們可以抽取多余C-1個特征向量。而且投影后分離效果更好。
 （2）正交LDA。先找到最佳的特征向量，然后找與這個特征向量正交且最大化fisher條件的向量。這種方法也能擺脫C-1的限制。
 （3）一般化LDA。引入了貝葉斯風險等理論。
 （4）核函數LDA。將特征，使用核函數來計算原始數據投影后，仍舊不能很好的分開的情形。
 （5）2DLDA 和 step-wise LDA

6 例程

LDA既然叫做線性判別分析，應該具有一定的預測功能，比如新來一個樣例x，如何確定其類別？拿二值分來來說，我們可以將其投影到直線上，得到y，然后看看y是否在超過某個閾值y0，超過是某一類，否則是另一類。而怎么尋找這個y0呢？

看根據中心極限定理，獨立同分布的隨機變量和符合高斯分布，然后利用極大似然估計求。然后用決策理論里的公式來尋找最佳的y0，詳情請參閱PRML。

本文參考：

1. JerryLead 的博文《線性判別分析（Linear Discriminant Analysis）（一）》

2. JerryLead 的博文《線性判別分析（Linear Discriminant Analysis）（二）》

3. LeftNotEasy 的博文《機器學習中的數學（4）-線性判別分析（LDA），主成分分析（PCA）》

4. webdancer 的博文《LDA-linear discriminant analysis》

5. xiaodongrush 的博文《線性判別式分析-LDA-Linear Discriminant Analysis》

6. peghoty 的博文《關于協方差矩陣的理解》

7. peghoty 的博文《UFLDL教程學習筆記（四）主成分分析》

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【机器学习】LDA 浅谈的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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