（一）高階差分方程的解：
高階差分齊次方程：

1仍然可得是該齊次方程的解
2得到對應的特征方程（其實以后我們可以直接寫出相應的特征方程，參考高數中寫微分方程的特征方程）


將有n個特征根（相異實數根，多重根，共軛復根）

（1）相異實根：

（2）實根，m重根：

這里只是舉一個例子，太復雜的并沒有闡述，即：阿爾法1到阿爾法m都相等嗎，但阿爾法m+1到阿爾法n都是相異實根。（其實還是不夠一般化）（注意，最后那個因為相等所以阿爾法1改寫為了阿爾法m）（而且他沒把剩下的相異實根 部分寫上去，容易引起誤解）

所以上面這個表述是有歧義的。因為假如重根有5個，分別為阿爾法1,2,3,4,5。但是他們的重數可能是不同的，比如重數分別為2,2,3,4,5.所以他們的上面這個表述是有問題的。
應該改為：

這里的n替換為t，這里僅是假設阿爾法1為k重，而其余的k+1到N個根都是相異實根。
那么其余的怎么寫，就了然了。
看兩個例子：



（3）復根

復根出現重根的情況不再給出了

（二）穩定性條件

要得到上述結論，需要先證明下式：

然后再由此式即可推導出上述結論。
（詳細版筆記中我已證明和推導）

（三）非齊次特解
非齊次差分方程的形式和推動過程x(t)有關
即推動過程為確定性過程
下面幾種為討論推動過程包含常數項，時間趨勢項t的情形。
（1）（高階差分方程）
此時的方程為：
則猜想解的形式為：
代入方程，解出c的值為：
但是分母可能為0，那么c就不存在了。
此時，我們應猜想解的形式為：
代入方程，解出c的值為：
若分母可能為0，那么c就不存在了。
繼續嘗試這樣形式的解，知道找到為止，總能找到的。
（2）其中b，d，r都是常數（僅指出了一階）
此時的方程為：
我們僅考慮一階：
猜想解的形式為：
代入方程，接觸c0，c1

于是，得到一個特解為：
只要|d^r|<1,該解就收斂

即：1
(常數項乘以了t)
2，嘗試使用
每一項都乘以了t
對于高階方程，仍然可以使用此方法（不過猜想的第一個解需要一定的智慧）
（3）其中b為常數，d為正常數。
此時的方程為：
猜想其特解的一般形式為：
舉一個二階差分方程的例子：
方程形式為：（此時d=1）
猜想其特解的一般形式為：
代入可能到兩個系數為：
同樣考慮，則令此時的特解形式為：

（四）待定系數法

（待定系數法在微分方程中也常用，先猜一個挑戰解，假定其滿足，然后代入，最終去求出這些系數，如果系數有解，則這個挑戰解就是方程的解，如果系數無解，則這個挑戰解就不是方程的解）
即推動過程是隨機干擾項的非齊次方程的特解
待定系數法可能誤解，所以我們將一開始提出的用于嘗試的解稱之為挑戰解
（1）簡單情形1：一階差分方程+一個隨機干擾項方程為
猜想的挑戰解形式為：
代入方程得
對任意的t和efshow，上述的式子都要成立，那就只能讓常數項和系數都為零啦~
于是可以得到：
和
考慮到分母，還是分類討論：
分類情形1：

這個結果和第一部分中使用向前迭代解本方程對所得的解的結果完全一致
最后我們可以配上對應的齊次方程的通解，組合成非齊次方程的通解，如下：

分類情形2：

由于efshow的求和未必有限，所以該解可能發散。于是施加如下初始條件：

最終將特解寫為：

但是我覺得，由于t的存在，這個解還是發散的，所以前面施加初始條件然并卵。
（2）簡單情形2：一階差分方程+兩個隨機干擾項
方程為：
猜想的挑戰解形式為：
使用（1）簡單情形1中的步驟和方法，不再贅述。

（3）二階差分方程+一個隨機干擾項 ，方程為：

猜想的挑戰解形式為：
代入方程可以得到：

和
和（可以解出a(j)）


（五）滯后算子
滯后算子L：
滯后算子的性質：



利用性質5和性質6，結合性質1，就可以解出差分方程。（級數求和與展開）
如果是高階，則可以因式分解，拆分后，再進行級數展開。

來自為知筆記(Wiz)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第一章时间序列基础——差分方程和求解（二）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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