接觸過資產定價的同學可能知道，資產定價有一個核心公式$p=\text{E}(mx)$，它的內涵十分豐富。本文將從Consumption-based model出發，詳解該公式的由來，并以它為視角，介紹金融理論中的一些問題。

1 定價方程

1.1 基本的定價方程

假設有一筆在$t+1$時刻的payoff為$x_{t+1}$的資產，該如何計算它在$t$時刻的價值？

假如在今天買一只股票，那么下一期的payoff就是股票的價格加股息，即$x_{t+1}=p_{t+1}+d_{t+1}$，$x_{t+1}$是一個隨機變量，投資者無法確切地知道他的投資在下一期會有多少收益，但他可以估算各種可能情況的概率。假設有一個代表性投資者，他的效用函數是
$$U(c_t,c_{t+1})=u(c_t)+\beta {\text{E}}_t[u(c_{t+1})]$$

其中$c_t$表示在$t$期的消費。假設效用函數是冪效用函數
$$u(c_t)=\frac{1}{1?\gamma }{c}_t^{1?\gamma }$$

當$\gamma \to 1$時，$u(c)=\ln (c)$。$\beta$是主觀貼現因子（subjective discount factor），效用函數的曲率表示對風險和跨期替代的厭惡程度。

假設投資者可以以$p_t$的價格自由買賣任意數量的資產$x_{t+1}$，初始消費水平為$e$，他選擇買入$\xi$數量的資產，那么可列出方程：
$$\begin{array}{rl}\underset{\{\xi \}}{\max }u(c_t)& +{\text{E}}_t[\beta u(c_{t+1})]\\ \text{s.t.}{c}_t& =e_t?p_t\xi ,\\ c_{t+1}& =e_{t+1}+x_{t+1}\xi \end{array}$$

將約束條件代入后求解最值問題，解得：
$$p_t{u}^{\prime }(c_t)={\text{E}}_t\left[\beta u^{\prime }(c_{t+1})x_{t+1}\right]$$

上式可寫為：
$$p_t={\text{E}}_t\left[\beta \frac{u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_t)}{x}_{t+1}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$

1.2 邊際替代率與隨機貼現因子

定義隨機貼現因子（Stochastic Discount Factor，SDF）
$$m_{t+1}=\beta \frac{u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_t)}$$

代入$(1)$式可得$p_t={\text{E}}_t(m_{t+1}{x}_{t+1})$。這里的$m_{t+1}$可以叫作邊際替代率（marginal rate of substitution），也叫定價核（pricing kernel），或者測度變換（change of measure）、狀態價格密度（state-price density）等。在大多數時候，下標可以省略，條件期望和無條件期望也沒必要區分，可以寫作$p=\text{E}(mx)$。

如果不存在不確定因素，那么按照標準現值公式，應該有
$$p_t=\frac{1}{R_f}{x}_{t+1}$$

其中$R_f$為毛無風險利率（gross risk-free rate），$1/R_f$為貼現因子。用大寫的$R$表示毛收益率，小寫的$r$表示凈收益率，關系是$r=R?1$或$r=\ln (R)$。

對于payoff相同的風險資產，風險越大，價格越低，因此風險資產的定價可用風險調整的貼現因子（risk-adjusted discount factors），它和某個資產有關：
$$p_t^i=\frac{1}{R^i}\text{E}(x_{t+1}^i)$$

2 金融中的經典問題

本節以$p=\text{E}(mx)$為視角，來看一些金融中的經典問題。

2.1 無風險利率

現在研究無風險債券，它的payoff就是無風險利率$R^f$，它在$t$期的價格為$1$，因此有$1=\text{E}(m{R}^f)=\text{E}(m)R^f$，因此，無風險利率為：
$$R^f=\frac{1}{\text{E}(m)}$$

若效用函數取為$u(c_t)=\frac{1}{1?\gamma }{c}_t^{1?\gamma }$，代入$m$的表達式中，并消除不確定性（拿掉期望符號），可得
$$R^f=\frac{1}{\beta }{\left(\frac{c_{t+1}}{c_t}\right)}^{\gamma }$$

可以看出，在排除不確定因素后，無風險利率水平與$\beta$、消費增長率、效用函數曲率$\gamma$有關。

而如果存在不確定性呢？假設消費增長率是對數正態分布，定義對數無風險利率為$r_t^f=\ln R_t^f$，定義主觀貼現率$\delta =?\ln \beta$，記$\Delta \ln c_{t+1}=\ln c_{t+1}?\ln c_t$，$\Delta$表示一階差分算子。那么
$$R^f=1/{\text{E}}_t\left[\beta {\left(\frac{c_{t+1}}{c_t}\right)}^{?\gamma }\right]$$

已知對于正態分布變量$z$，有$\text{E}(e^z)=e^{\text{E}(z)+(1/2){\sigma }^2(z)}$，代入上式后得
$$R_t^f={\left[e^{?\delta }{e}^{?\gamma {\text{E}}_t(\Delta \ln c_{t+1})+({\gamma }^2/2){\sigma }_t^2(\Delta \ln c_{t+1})}\right]}^{?1}$$

兩邊取對數后得：
$$r_t^f=\delta +\gamma {\text{E}}_t(\Delta \ln c_{t+1})?\frac{{\gamma }^2}{2}{\sigma }_t^2(\Delta \ln c_{t+1})$$

可以看到，在存在風險時，無風險利率水平依舊與不耐心程度$\delta$、消費增長率、冪參數$\gamma$有關。

2.2 風險調整

利用協方差的定義，以及上一節中得出的無風險利率表達式$R^f=1/\text{E}(m)$，可以得到
$$\begin{array}{rl}p& =\text{E}(mx)\\ & =\text{E}(m)\text{E}(x)+\text{Cov}(m,x)\\ & =\frac{\text{E}(x)}{R^f}+\text{Cov}(m,x)\end{array}$$

這就是標準的貼現現值公式，協方差項就是風險調整（risk adjustment）。

在上式中令資產$i$價格為$1$，那么payoff$x$就成了資產$i$的收益率$R^i$，可得：
$$\text{E}(R^i)?R^f=?R^f\text{Cov}(m,R^i)\text{\hspace{1em}(2)}$$

2.3 異質性風險不影響價格

在金融理論中，我們知道，在payoff中只有與貼現因子完全相關的成分會帶來額外的收益率，與貼現因子無關的異質性風險（idiosyncratic risk）不產生溢價。由上一小節的內容可知，當$\text{Cov}(m,x)=0$時，不管${\sigma }^2(x)$有多大，始終有$p=\frac{\text{E}(x)}{R^f}$。

將$x$對$m$做回歸，可將它分解為
$$x=\text{proj}(x|m)+\epsilon$$
其中$\text{proj}(x|m)$就是與貼現因子完全相關的部分（systematic risk），殘差$\epsilon$是完全無關的異質性風險（idiosyncratic risk）。

若回歸沒有常數項，那么根據回歸的知識，我們知道
$$\text{proj}(x|m)=\frac{\text{E}(mx)}{\text{E}(m^2)}m$$
依據定價方程，$\text{proj}(x|m)$的價格是
$$p(\text{proj}(x|m))=\text{E}(m?\frac{\text{E}(mx)}{\text{E}(m^2)}m)=\text{E}(mx)=p(x)$$

而按照回歸的正交條件，我們有$p(\epsilon )=\text{E}(m\epsilon )=0$，也即$\epsilon$的價格為$0$。

2.4 期望收益率的Beta表達式

我們來將$(2)$式進一步改寫為：
$$\begin{array}{rl}\text{E}(R^i)& =R^f+\left(\frac{\text{Cov}(R^i,m)}{\text{Var}(m)}\right)\left(?\frac{\text{Var}(m)}{\text{E}(m)}\right)\\ & =R^f+{\beta }_{i,m}{\lambda }_m\end{array}$$
由回歸的知識可知，這里的$\beta$就是$R^i$對$m$的回歸系數。這又叫beta定價模型，${\lambda }_m$是風險的價格，與貼現因子的波動率有關，而$\beta$是資產的風險的數量。

2.5 均值-方差前沿

可以再對$(2)$式進行改寫，將協方差用相關系數表示：
$$\text{E}(R^i)=R^f?{\rho }_{m,R^i}\frac{\sigma (m)}{\text{E}(m)}\sigma (R^i)$$

而相關系數必在$[?1,1]$內，因此有
$$\left|\text{E}(R^i)?R^f\right|\le \frac{\sigma (m)}{\text{E}(m)}\sigma (R^i)$$

上式給了我們很多關于$R^i$的期望和標準差的信息（如下圖）：

上圖說明了：

• 資產收益率的均值、方差必定落在一個以$\sigma (m)/\text{E}(m)$為斜率的楔形區域內，此區域的邊界就是均值-方差前沿（mean-variance frontier）；
• 所有在前沿上的收益率都與貼現因子完全相關即$|{\rho }_{m,R^i}|=1$。在前沿上部分的資產，收益率與$m$完全負相關，反之亦然。
• 所有在前沿上的收益率相互之間完全相關（因為它們都與$m$完全相關）。這一點意味著，只要給出兩個在前沿上的收益率，就可以張成（span）（也叫合成，synthesize）任意的前沿收益率，比如給出一個前沿上的資產收益率$R^m$，那么所有在前沿上的資產收益率$R^{mv}$可以寫為$R^{mv}=R^f+a(R^m?R^f)$；
• 給定某個前沿收益率$R^{mv}$，它與$m$完全相關，那么必有$m=a+b{R}^{mv}$，由此可得$\text{E}(R^{mv})=R^f?R^f\text{Cov}(m,R^{mv})=R^f?b{R}^f\text{Var}(R^{mv})$，那么，beta表達式可改寫為
  $$\begin{array}{rl}\text{E}(R^i)& =R^f?R^f\text{Cov}(m,R^i)\\ & =R^f?b{R}^f\text{Cov}(R^{mv},R^i)\\ & =R^f+\left(\frac{\text{Cov}(R^{mv},R^i)}{\text{Var}(R^{mv})}\right)\left(?b{R}^f\text{Var}(R^{mv})\right)\\ & =R^f+{\beta }_{i,mv}\left[\text{E}(R^{mv})?R^f\right]\end{array}$$
  這個結果很重要，它表明，雖然資產收益率的均值和方差填滿了前沿內部的空間，但收益率均值和$\beta$之間卻是線性關系；
• 我們可以將收益率分解為priced（或systematic）部分和residual（或idiosyncratic）的部分，如上圖所示。

2.6 前沿的斜率和股權溢價之謎

定義超額收益率的均值和標準差之比為夏普比率（Sharpe ratio）：
$$\frac{\text{E}(R^i)?R^f}{\sigma (R^i)}$$
而均值-標準差前沿的斜率，就是可獲得的最大的夏普比率。利用冪效用函數，并假設消費增長率為對數正態分布，可以得到
$$\begin{array}{rl}\left|\frac{\text{E}(R^{mv})?R^f}{\sigma (R^{mv})}\right|=& \frac{\sigma [(c_{t+1}/c_t{)}^{?\gamma }]}{\text{E}[(c_{t+1}/c_t{)}^{?\gamma }]}\\ =& \sqrt{\exp \left[{\gamma }^2{\sigma }^2(\Delta \ln c_{t+1})\right]?1}\\ \approx & \gamma \sigma (\Delta \ln c)\end{array}$$
可以看出，經濟越帶有風險（即增長率波動越大），或投資者風險規避程度越高，那么前沿的斜率就會越大。

理論符合現實嗎？不符合！這就是著名的“股權溢價之謎”：在美國數據中，近50年的股票真實收益率均值達到了將近9%，標準差大約是16%，而國庫券真實收益率大約是1%，因此，歷史Sharpe ratio大約是0.5。但是，總體非耐用品和服務的消費增長率的均值和標準差都是1%左右，根據估算，投資者的風險規避系數達到了50之多！

股權溢價之謎有三種可能性：

人們的風險規避系數遠比學者們計算出來的高；

過去50年的股票收益都是運氣，所以遠高于對風險的補償；

模型中有地方出錯了，比如效用函數或總消費增長率數據。

2.7 隨機游走和時變期望收益率

回到由一階條件導出的$(1)$式，如果投資者是風險中性的（即$u(c)$為線性函數）或消費沒有變化，假設payoff中沒有股利，即它就是下一期的價格，再假設在短期中$\beta$非常接近于$1$，那么就有
$$p_t={\text{E}}_t(p_{t+1})$$
這就是鞅（martingale）。它又等價于，價格的時間序列過程形式為：
$$p_{t+1}=p_t+{\epsilon }_{t+1}$$
若${\sigma }_t^2({\epsilon }_{t+1})$為常數，這又叫隨機游走（random walk）。

在短期中，鞅的性質表明收益率是無法預測的。但在長期中，情況有所不同：
$$\begin{array}{rl}{\text{E}}_t(R_t^f)?R^f=& ?\frac{\text{Cov}(m_{t+1},R_{t+1})}{{\text{E}}_t(m_{t+1})}\\ =& ?\frac{{\sigma }_t(m_{t+1})}{{\text{E}}_t(m_{t+1})}{\sigma }_t(R_{t+1}){\rho }_t(m_{t+1},R_{t+1})\\ \approx & {\gamma }_t{\sigma }_t(\Delta c_{t+1}){\sigma }_t(R_{t+1}){\rho }_t(m_{t+1},R_{t+1})\end{array}$$

上式表明，長期收益率存在一定的可預測性：

如果收益率的條件方差${\sigma }_t(R_{t+1})$是時變的，那么收益率的條件期望也是時變的（會來回穿過代表了Sharpe ratio的直線），但這點對解釋沒有幫助，因為可以預期方差的變量并不意味著可以預測期望，反之亦然；

長期收益率的預測可以由變化的風險${\sigma }_t(\Delta c_{t+1})$或變化的風險厭惡$ \gamma$解釋。

2.8 現值表示

如果不用簡單的兩期模型，而是想將價格和未來所有現金流聯系起來，可以考慮投資者的長期目標
$${\text{E}}_t\sum _{j=0}^{\infty }{\beta }^{j}u(c_{t+j})$$

同樣使用一階條件，即可得
$$p_t={\text{E}}_t\sum _{j=1}^{\infty }{\beta }^j\frac{u^{\prime }(c_{t+j})}{u^{\prime }(c_t)}{d}_{t+j}={\text{E}}_t\sum _{j=1}^{\infty }{m}_{t,t+j}{d}_{t+j}$$

將上式做$p_t$和$p_{t+1}$的兩期差分，就可以得到兩期模型。而如果想反過來，從兩期模型推得無限期模型，則需要加一個transversality condition：${\lim }_{j\to \infty }{\text{E}}_t(m_{t,t+j}{p}_{t+j})=0$，它排除了“泡沫”（bubbles）的情況。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的资产定价核心等式及其应用的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。