眾所周知，二維平面直角坐標(biāo)系中的面積微元轉(zhuǎn)換為平面極坐標(biāo)系有

為什么？

嘗試下證明 ：

先列出x,y與r,

之間的關(guān)系

，

微分一下

，

得到了

什么？你說(shuō)你不知道第三行怎么來(lái)的？我也不知道。。。

于是這波看似100%能成功的證明就以失敗告終了。

有厲害的小伙伴指出了，這里的面積微分并不是這么定義的，而應(yīng)該是外積，在運(yùn)算法則上的不同造成了證明中的錯(cuò)誤。

那換個(gè)角度，這也是我最先對(duì)于這個(gè)面積轉(zhuǎn)換的理解(這也正是改變了運(yùn)算法則，采用了外積的運(yùn)算方式)：

這可以看作紅色“矩形”的面積，

順理成章。

可是這又跟dx,dy何干？唯一明顯的聯(lián)系就是 它們同樣表示的是二維平面的面積微元。

下面是另外一種理解，或許可以解答這個(gè)疑惑。貼一段百度詞條

非線性變換

線性變換、仿射變換使得向量空間上的點(diǎn)具有很好的性質(zhì)，但是這些性質(zhì)到了非線性變換就消失了。

舉個(gè)例子：

。。。

那么該如何用矩陣來(lái)描述變換后向量張成的空間呢？

很明顯的是，不能再用一個(gè)常數(shù)矩陣來(lái)描述了。每一個(gè)不同向量都有自己的矩陣變換，不妨就關(guān)注某個(gè)特定的向量，以及這個(gè)向量附近的向量。

因?yàn)槭恰案浇?#xff0c;所以這個(gè)向量在鄰域內(nèi)張成的空間可以看作是線性變換的，所以可以用一個(gè)特定的矩陣來(lái)描述。

在上述例子中，原空間由x,y的基矢構(gòu)成，變換后的空間由

的基矢構(gòu)成。

在線性變換中，我們作用的矩陣有精巧的幾何意義,考慮一個(gè)線性變換

這就好像是我們輸入一個(gè)向量

，經(jīng)過(guò)一個(gè)變換

，輸出了

。

那么可以輸入一個(gè)原向量的單位向量

于是輸出了

；同樣地，輸入一個(gè)

得到

，這說(shuō)明了，組成空間的兩個(gè)基矢經(jīng)過(guò)的線性變換到了兩個(gè)新的位置(可以與原先相同)。

在非線性變換中，我們不能保證所有“基矢”都到達(dá)同樣的位置，但是也不需要，我們可以研究局部的性質(zhì)。

既然是局部，我們就可以用線性的變換來(lái)擬合。

考察一個(gè)矢量

，經(jīng)過(guò)了變換來(lái)到了

，對(duì)它進(jìn)行鄰域內(nèi)的近似線性變換

(此處的

是小量)。

，這里的函數(shù)決定了變換矩陣

和平移量

。

現(xiàn)在做的只是完美確定了矢量

落在了該落的位置上(假設(shè))，還需要做的事是把

附近的矢量準(zhǔn)確落位。

設(shè)原空間中的基分別是

，變換后

;

這時(shí)如果我們輸入一個(gè)

(

是小量)，也就相當(dāng)把

函數(shù)改為

這就相當(dāng)于對(duì)

中的x求偏導(dǎo)，顯然有

，同樣有

。

如果輸入的是

，這也就要求了輸出的是

為了讓線性變換后也達(dá)到這個(gè)效果，我們需要作用一個(gè)矩陣，這個(gè)矩陣也就是雅可比矩陣(Jacobian Matrix)。

它具有如下形式(二維)：

這就符合了前面的要求：對(duì)這個(gè)矩陣作用一個(gè)小量(小的向量)

發(fā)現(xiàn)，作用了這個(gè)矩陣使得

在鄰域內(nèi)能滿足：

也即

可這又跟一開(kāi)始的面積微元有什么聯(lián)系呢？

線性變換中的面積變換

高中階段，我們接觸最多的就是橢圓當(dāng)中的伸縮變換

面積微元的變換很顯然，

。

可是如果變換后的基矢并不正交(這也正是大部分情況)呢？

觀察下

的變換矩陣：

，看到了變換后的面積微元與變換前的比值是這個(gè)矩陣的行列式

。

對(duì)于普遍的變換

前面已經(jīng)提到，基矢來(lái)到了不同的位置rt

注意到單位面積變換到了平行四邊形

的面積，這就非常好求了，只需要

，就得到了變換后的單位面積，所以微分形式是

，即面積變換需要乘上一個(gè)變換的矩陣的行列式。

也可以寫(xiě)成

(有用極了)

非線性的變換在局部具有線性的性質(zhì)，我們討論面積的微元，也就可以在線性的情況下解決。

我們要處理文章最開(kāi)始的問(wèn)題：

這個(gè)問(wèn)題可以是，把由

構(gòu)成的向量空間轉(zhuǎn)換成固定且正交的基矢構(gòu)成的空間，求在

處的面積微元表達(dá)形式。

這個(gè)非線性的變換可以表達(dá)成

也是

，我們考慮微小的面積，所以就用上了前面的雅可比矩陣。

在

處的雅可比矩陣寫(xiě)為：

所以在這個(gè)點(diǎn)附近的微小變化就可以用這個(gè)矩陣來(lái)描述。那我們假設(shè)一個(gè)微小變化為

(原空間中的微小變化)，產(chǎn)生一個(gè)微小的平行四邊形(變換后的空間中)的面積就是

。

于是就證明了一開(kāi)始的結(jié)論：

雅可比矩陣的應(yīng)用就在于類似于這樣的微分形式換元。

看一個(gè)問(wèn)題：求

。

給出一種解法：

作換元

，得到了

這里就用到了

，當(dāng)然也可以理解為面積元的轉(zhuǎn)換，不過(guò)雅可比矩陣給出了很好的解釋。

可以看到，

在第一象限，所以定義域在

。

算算完就是：

，得到了

。

這只是展示了很弱的運(yùn)用，不過(guò)也有意義。(比較有用的看情況更)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的jacobian 矩阵意义_对雅可比矩阵的理解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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