自動控制

自動控制基本概念

自動控制發展簡史

自動控制的基本原理

自動控制的分類

按輸入信號特征分類

恒值系統：輸入輸出是一個恒值
隨動系統：輸入信號是一個未知函數，要求輸出量跟蹤給定量變化
程序控制系統：輸入信號是一個已知的時間函數，要求被控量迅速復現給定量

按系統參數特征分類

定常系統
時變系統

按系統數學模型分類

線性系統
非線性系統

按時間變量分類

連續系統
離散系統

按變量數目分類

單變量系統
多變量系統

自動控制的性能指標

穩定性：系統正常工作的基本條件
快速性：表示對自動控制系統動態性能的要求
準確性（穩態誤差）：系統達到平衡時的精度

控制系統的數學模型

導論

數學模型：描述系統性能的數學表達式，叫做系統的數學模型。
動態模型： 描述系統動態過程的方程式稱為動態模型。 如微分 方程、偏微分方程、差分方程等
靜態模型： 在靜態條件下(即變量的各階導數為零)，描述系統 各變量之間關系的方程式，稱為靜態模型。

建立系統數學模型的途徑

演繹法：通過對系統本身機理（物理、化 學規律)的分析確定模型的 結構和參數，從理論 上推導出系統的數學模型的一種方法。
歸納法：根據對系統的觀察，通過測量所得到的大量輸入、 輸出數據，推斷出被研究系統的數學模型

控制系統的微分方程

建立步驟

(1)了解系統組成及各環節之間的傳遞關系，確定系統輸 入、輸出變量，系統內部變量，及變量之間的相互關系
(2)從輸入端開始按照信號流向，分析各環節的運動機理， 寫出描述各環節動態關系的微分方程。
(3)采用微偏線性化等方法對原始微分方程進行簡化。
(4)對簡化后方程進行推導，消除中間變量，僅保留系統 輸入變量和輸出變量。
(5)對偏微分方程整理成規范形式，即將輸出變量及其各 階導數項放在等號左邊，輸入變量及其各階導數項放在 等號右邊，分別按降價順序排列。

拉普拉斯變換

Laplace變換在解算中的作用

拉普拉斯變換將時域微分方程轉換為復數域上的代數方程，通過對代數方程的求解經過拉普拉斯反變換可更便捷輕松地得到原微分方程解

過程為：

①對微分方程進行拉普拉斯變換，將時域轉化為復數域代數

②解得到的代數方程得出象函數表達式

③進行拉普拉斯反變換，得到時域解

Laplace變換相關公式

（1） $$L[\frac{d^n}{d{t}^n}f(t)]=s^{n}F(s)?\sum _{k=1}^n{s}^{n?k}{f}^{(k?1)}(0^{?})$$

最常用的變換，當f(t)及其導數在t=0處初始為零時，第二項舍去

（2）$$L[\int ...\int f(t)d{t}^n]=\frac{F(s)}{s^n}+\sum _{k=1}^n\frac{1}{s^{n?k+1}}[\int ...\int (dt{)}^k{]}_{t=0^{?}}$$

常用，當f(t)及其各重積分在t=0處為零時舍去第二項

拉普拉斯反變換

部分分式展開

只包含不相同的極點的F(s)的部分分式展開式：


包含多重極點的F(s)部分分式展開式：

控制系統的傳遞函數描述

概念和性質

定義：線性定常系統的傳遞函數為零初始條件下，輸出量的拉普拉斯變換C(s)與輸入量的拉普拉斯變換之比。

數學式：$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m?1}+...+b_{m?1}s+b_m}{a_0{s}^n+a_1{s}^{n?1}+...+a_{n?1}s+a_n}$

典型環節的傳遞函數

1比例環節

G(s)=K

2慣性環節

$G(s)=\frac{1}{Ts+1}$//按指數上升的環節，有R-C電路，R-L電路等

3積分環節
$G(s)=\frac{1}{Ts}$
4微分環節
$G(s)=Ts$

5比例微分環節
$G(s)=K_c(1+Ts)$

6振蕩環節
$G(s)=\frac{w_n^2}{s^2+2w_n\zeta s+w_n^2}$

7延滯環節
$G(s)=e^{?\tau s}$

控制系統的結構圖

結構圖組成和作用

組成：結構圖是采用單元方框表示傳遞函數，信號線表示信號傳遞方向，引出點對信號進行引出，綜合點對信號進行加減運算

作用：使用結構圖一方面直觀表達出系統各環節聯系，另一方面通過結構圖的簡化容易得到系統總的傳遞函數

結構圖的等效變換

控制系統的信號流圖

信號流圖的組成與作用

組成：用小圓圈表示的節點有輸入輸出作用，連接兩個節點的支路附帶傳遞函數，從某一節點穿過各支路到另一節點的路徑稱為通路

作用：與結構圖基本類似，結構圖簡化求傳遞函數變成了信號流圖通過梅遜公式求傳遞函數。

梅遜公式

公式：$G(s)=\frac{1}{\Delta }{\sum }_{k=1}^n{P}_k{\Delta }_k$

①P表示信號流圖中的前向通路 //前向通路：從輸入節點到輸出節點且通過任何節點不多于一次的通路

②$\Delta =1?\sum L_i+\sum L_i{L}_j?\sum L_i{L}_j{L}_k...$

第一項的L為每一個不相同回路經過的傳函 //回路：起點與終點重合且與任何節點相交不超過一次的通路

第二項的L為兩兩互不接觸的回路經過的傳函

第三項的L為三三互不接觸的回路經過的傳函

依次類推…

③${\Delta }_k$為去掉與第k條前向通道相接觸的回路傳遞函數的剩余部分，又或者是去掉相接觸回路后再按照$\Delta$運算規律得到的式子

控制系統的傳遞函數

開環傳遞函數

閉環回路在B(s)處斷開，從輸入到B(s)處的傳遞函數$1+G_1(s)G_2(s)H(s)$

r(t)作用下的閉環傳遞函數

令n(t)=0,$G_B(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G_1(s)G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}$

n(t)作用下系統的閉環傳遞函數

令r(t)=0,$G_{Bn}(s)=\frac{C_n(s)}{N(s)}=\frac{G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}$

系統的總輸出

$C_{\sum }(s)=C(s)+C_n(s)$

閉環系統的誤差傳遞函數

r(t)作用下，$G_{Be}(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}$

n(t)作用下，$G_{Ben}(s)=\frac{E_n(s)}{N(s)}=\frac{?G_2(s)H(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}$

系統總誤差，$E_{\sum }(s)=G_{Be}(s)R(s)+G_{Ben}(s)N(s)$

閉環系統的特征方程

是上面各式的分母:$D(s)=1+G_1(s)G_2(s)H(s)$

總結

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