matlab常微分方程数值求解
本節(jié)將介紹常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值求解，主要內(nèi)容分為三個(gè)部分：常微分方程數(shù)值求解的概念、求解函數(shù)及剛性問(wèn)題。
一、常微分方程數(shù)值求解的一般概念
首先，凡含有參數(shù)，未知函數(shù)和未知函數(shù)導(dǎo)數(shù) (或微分) 的方程，稱(chēng)為微分方程，有時(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)為方程，未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱(chēng)作常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱(chēng)作偏微分方程。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱(chēng)為微分方程的階。
常微分方程數(shù)值求解，指研究求解初值問(wèn)題各類(lèi)數(shù)值方法的構(gòu)造、理論分析與數(shù)值實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。研究的主要對(duì)象為一階方程組初值問(wèn)題：
其中，其中y=y(x)是未知函數(shù),y(x0)=y0是初值條件,而f(x,y)是給定的二元函數(shù)。
所謂其數(shù)值解法，就是求y(x)在離散結(jié)點(diǎn)xn處的函數(shù)近似值yn 的方法 ，yn≈y(xn)。這些近似值稱(chēng)為常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解。相鄰兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的距離稱(chēng)為步長(zhǎng)。
這里主要介紹兩種：單步法和多步法
單步法：在計(jì)算y(n+1)時(shí)只用到前一步的y(n)，因此在有了初值之后就可以逐步往下計(jì)算，其代表是龍格- - 庫(kù)塔（ Runge- - Kutta ） 法
多步法：在計(jì)算y(n+1)時(shí)，除了用到前一步的值y(n)之外, , 還要用到y(tǒng)(n-p)（ p=1，2 ， … ，k，k＞0）的值, , 即前面的k步。其代表就是亞當(dāng)斯 (Adams) 法
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二、常微分方程求解函數(shù)
MATLAB 提供了多個(gè)求常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解的函數(shù)，一般調(diào)用格式為：
[t,y]=solver(filename,tspan,y0,option)
其中，t和y分別給出時(shí)間向量和相應(yīng)的數(shù)值解。solver為求常微分方程數(shù)值解的函數(shù)。filename 是定義 f(t ，y) 的函數(shù)名，該函數(shù)必須返回一個(gè)列向量。
tspan 形式為 [t0，tf]，表示求解區(qū)間。 y0 是初始狀態(tài)向量。Option 是可選參數(shù)，用于設(shè)置求解屬性，常用的屬性包括相對(duì)誤差值 RelTol(默認(rèn)值是10的-3次方)和絕對(duì)誤差值 AbsTol( ( 默認(rèn)值是10的-6次方)。
常微分方程數(shù)值求解函數(shù)的統(tǒng)一命名格式：
odennx
ode是Ordinary Differential Equation 的縮寫(xiě)，是常微分方程的意思。
nn 是數(shù)字，代表所用方法的階數(shù)。例如，ode23采用2階龍格- - 庫(kù)塔（ Runge- - Kutta ）算法 ，用3階公式做誤差估計(jì)來(lái)調(diào)節(jié)步長(zhǎng)，具有低等精度。ode45 采用4階龍格- - 庫(kù)塔算 法 ，用5階公式做誤差估計(jì)來(lái)調(diào)節(jié)步長(zhǎng)，具有中等精度。
x是字母，用于標(biāo)注方法的專(zhuān)門(mén)特征。例如， ode15s 、ode23s 中的“s”代表（ Stiff ），表示函數(shù)適用于剛性方程。
下表列出了求常微分方程數(shù)值解的函數(shù)：
| ode23 | 2 階或3階 Runge- - Kutta 算法，低精度 | 非剛性 |
| ode45 | 4 階或5階 Runge- - Kutta 算法，中精度 | 非剛性 |
| ode113 | Adams 算法，精度可到10的-3次方至10的-6次方 | 非剛性，計(jì)算時(shí)間比 ode45 |
| ode23t | 梯形算法 | 適度剛性 |
| ode15s | Gear’s 反向數(shù)值微分算法，中精度 | 剛性 |
| ode23s | 2階 Rosebrock 算法，低精度 | 剛性，當(dāng)精度較低時(shí)，計(jì)算時(shí)間比 ode15s |
| ode23tb | 梯形算法，低精度 | 剛性，當(dāng)精度較低時(shí)，計(jì)算時(shí)間比 ode15s |
先看一個(gè)簡(jiǎn)單例子，y‘=y+3x/x^2，初值y(0)=-2，求解區(qū)間為[1,4]。
>> odefun=@(x,y) (y+3*x)/x^2; tspan=[1 4]; y0=-2; [x y]=ode45(odefun,tspan,y0) plot(x,y) 二、剛性問(wèn)題
有一類(lèi)常微分方程，其解的分量有的變化很快，有的變化很慢，且相差懸殊，這就是所謂的剛性問(wèn)題 (Stiff) 。
對(duì)于剛性問(wèn)題，數(shù)值解算法必須取很小步長(zhǎng)才能獲得滿意的結(jié)果，導(dǎo)致計(jì)算量會(huì)大大增加。解決剛性問(wèn)題需要有專(zhuān)門(mén)方法。非剛性算法可以求解剛性問(wèn)題，只不過(guò)需要很長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間。
例、假如點(diǎn)燃一個(gè)火柴，火焰球迅速增大直至某個(gè)臨界體積，然后，維持這一體積不變，原因是火焰球內(nèi)部燃燒耗費(fèi)的氧氣和從球表面所獲氧氣達(dá)到平衡。其簡(jiǎn)化模型如下：
y’=y2-y3，y(0)=L，0<=t<=2/L
其中， y(t) 代表火焰球半徑，初始半徑是λ ，它很小。分析 λ 的大小對(duì)方程求解過(guò)程的影響。
注：tic 和 toc 函數(shù) 用來(lái)記錄 微分方程求解 命令執(zhí)行的時(shí)間 ，使用 tic 函數(shù)啟動(dòng)計(jì)時(shí)器，使用 toc 函數(shù)顯示從計(jì)時(shí)器啟動(dòng)到當(dāng)前所經(jīng)歷的時(shí)間。
上述采用了三種不同方法，可以發(fā)現(xiàn)，第一種的運(yùn)行結(jié)果表明這時(shí)常微分方程不算很剛性；第二種這時(shí)計(jì)算時(shí)間明顯加長(zhǎng)，計(jì)算的點(diǎn)數(shù)劇增，表明這時(shí)常微分方程表現(xiàn)為剛性；因此對(duì)于剛性問(wèn)題，我們需要改變求解算法，我們選擇以“s”結(jié)尾的函數(shù)，例如第三種方法他們專(zhuān)門(mén)用于求解剛性方程。計(jì)算時(shí)間大大縮短，計(jì)算的點(diǎn)數(shù)大大減少。
常微分方程數(shù)值解法的研究已發(fā)展得相當(dāng)成熟，理論上也頗為完善，小編由于能力有限，只能了解個(gè)大概，本文講解也就寫(xiě)的是比較基礎(chǔ)的一些方面，如果大家有更多需求，可以自己查閱相關(guān)資料。
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的matlab常微分方程数值求解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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