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常微分方程的解法求解系列博文：

常微分方程的解法 (一): 常微分方程的離散化 :差商近似導數、數值積分方法、Taylor 多項式近似

常微分方程的解法 (二): 歐拉（Euler）方法

常微分方程的解法 (三): 龍格—庫塔（Runge—Kutta）方法 、線性多步法

常微分方程的解法 (四): Matlab 解法

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目錄

1 常微分方程的離散化??

數值解法

（i）用差商近似導數------差分方程初值問題

?????? （ii）用數值積分方法

????? （iii）Taylor 多項式近似

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建立微分方程只是解決問題的第一步，通常需要求出方程的解來說明實際現象，并 加以檢驗。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和應用的，但是我們知道，只有線 性常系數微分方程，并且自由項是某些特殊類型的函數時，才可以肯定得到這樣的解， 而絕大多數變系數方程、非線性方程都是所謂“解不出來”的，即使看起來非常簡單的 方程如 ?，于是對于用微分方程解決實際問題來說，數值解法就是一個十 分重要的手段.

1 常微分方程的離散化

下面主要討論一階常微分方程的初值問題，其一般形式是

在下面的討論中，我們總假定函數 f (x, y) 連續，且關于 y 滿足李普希茲(Lipschitz)條 件，即存在常數 L ，使得

這樣，由常微分方程理論知，初值問題(1)的解必定存在唯一。

數值解法

所謂數值解法，就是求問題（1）的解 y(x) 在若干點 ? ? ? ? ??

建立數值解法，首先要將微分方程離散化，一般采用以下幾種方法：

（i）用差商近似導數------差分方程初值問題

需要說明的是，用不同的差商近似導數，將得到不同的計算公式。

（ii）用數值積分方法

將問題（1）的解表成積分形式，用數值積分方法離散化。例如，對微分方程兩端 積分，得

右邊的積分用矩形公式或梯形公式計算。

（iii）Taylor 多項式近似

以上三種方法都是將微分方程離散化的常用方法，每一類方法又可導出不同形式的 計算公式。其中的 Taylor 展開法，不僅可以得到求數值解的公式，而且容易估計截斷 誤差。

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常微分方程的解法求解系列博文：

常微分方程的解法 (一): 常微分方程的離散化 :差商近似導數、數值積分方法、Taylor 多項式近似

常微分方程的解法 (二): 歐拉（Euler）方法

常微分方程的解法 (三): 龍格—庫塔（Runge—Kutta）方法 、線性多步法

常微分方程的解法 (四): Matlab 解法

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor 多项式近似的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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