背景

一直不爽的教材里的“近似”，不但中學教材里面有，大學教材里面也有。我的所謂“不爽”，主要是對公式的“近似”的屬性不滿，覺得科學規律或定理都應該是嚴格解析、分毫不爽的；但是事實往往是，實際科學實驗中不但有誤差，理論上大部分公式取近似也往往是合理的。

案例

這里先說中學物理教材里面講波動光學中的“雙縫干涉”時候的一種近似。

其實寫這個案例之前，我的本意是推導一遍、復習一下；我讀中學的時候一直覺得這個推導不好記，因為它的好多假設在我看來都不合理，要記住一個不合理的東西、而且把它當真，在我看來實在有難度。

數十年沒有專門從頭看Young’s double slit interference實驗中用到的數學公式的推導過程，都有些遺忘了；所以，從新再來推導楊氏雙縫干涉實驗中用到的近似公式，——本以為推導過程中最為精妙和值得學習的地方主要在于取近似的時機和手法，因為我老是記不住——可是自己一推導居然發現，教材中對近似公式的推導，可能有邏輯問題。

（下圖是一位高中學生用自己的Android手機拍的）

于是帶著藐視初等數學推導的態度，嘗試brute-force推導，找到一種看上去合理的、純粹“初等”的推導。（我習慣于把這種費力、不討巧的笨辦法都叫做brute-force; 然而之前碰到一個矩陣證明有關的復雜問題，請教中科院自動化所一位年長的博導，兩三天后收到一份 $\text{LATE?X}$ 版的詳細解答，用的辦法就是我一直所謂的brute-force方法！佩服之余，也很為自己汗顏，因為如果我態度端正一些本來還是有希望獨立完成的）

我發現，楊氏雙縫干涉實驗中近似公式的推導，本來是完全可以有以下優點的，但是卻走了一條歧路；我說的好的推導應該是這樣的：

它不應遺漏本該包含的關鍵假設、近似條件；

它使用的假設、近似的個數更少、更簡潔；

它沒有使用明顯不合理的假設、近似條件。

教材中可能錯誤的推導方法

理論上在屏幕上光程差 $\delta$ 是波長$\lambda$ 整數倍的情況下產生干涉疊加，干涉條紋到中心位置的距離 $x$ 的近似公式的推導。這是中學物理實驗中用雙縫干涉法測單色光波長的主要理論依據。

這么多的“近似”，而且據說近似的原理要等學了**“高等數學”**之后才能明白，這讓人有些不服 (現在手頭的教材是，人教版高中物理、選修3-4， 2007年4月第2版，版次跟我當年學的教材不同，但是推導方法相似)。

上面的有些假設，比如 $x>>d$，本身是未必合理的，但根據教材中的推導方法卻是必須的；有些近似把光程差的結果放大（比如 $d\sin \theta$)，有的近似把光程差的結果縮小（剩下的兩個近似都是這樣的效果），它們綜合起來的效果剛好跟想要的結果碰巧重合了而已，符合辯證法里的“否定之否定”、或者說“錯上加錯和一錯再錯”就是正確的道理？這種中外都在使用的教法已經沿用了好多年了，估計還要一直錯下去。

我于是在想，如果這是個問題，黑鍋到底是中國的還是外國的呢？于是就搜索了一下英文版的文獻和資料，結果發現，這個讓人懷疑的推導方法可能在國外教材中就一直沿用，然后被照搬了：

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/slits.html

有意思的是，上面這個示意圖還知道 $\theta$ 和 ${\theta }^{\prime }$ 實際上是不一樣的，需要作一次近似假設(從圖上的說明看，假設也用錯了)；下面這個來自某”大學物理“(college physics，2017年第11版)的教材中的示意圖，直接把兩者混淆、混為一談了。

這里上圖的兩個 $\theta$ 近似相等的假設跟 $y=x>>\frac{d}{2}$ 一樣不合理。不過大家都這么玩。

關鍵是各種假設的合理性、“一種近似”跟“另一種近似”之間一致性，是不是足夠好；否則，就算碰巧得到一個好用的結果，如何讓人信服？

也許應該這樣推導

這里寫一個不用高等數學知識的、自洽的推導干涉條紋位置 $x$ 近似公式的方法。

如果把近似的步驟放在最后，結果可以這樣，只是要求解一個同解的關于 $x$ 的“一元二次”方程而已：

有網友說上圖有錯誤，漏了平方，我2019年4月21日修改更新了下：

先用兩個勾股定理，表示出 $r_1$、$r_2$ 兩個光程，相減得到光程差 $\delta$， 它是波長 $\lambda$ 整數倍的時候達到極亮條紋：

$$r_2?r_1=\sqrt{L^2+{\left(x+\frac{d}{2}\right)}^2}?\sqrt{L^2+{\left(x?\frac{d}{2}\right)}^2}=k?\lambda$$
進行一系列同解等價變換，先移項：
$$\sqrt{L^2+{\left(x+\frac{d}{2}\right)}^2}=k?\lambda +\sqrt{L^2+{\left(x?\frac{d}{2}\right)}^2}$$
兩邊同時平方：
$$L^2+{\left(x+\frac{d}{2}\right)}^2=k^2{\lambda }^2+L^2+{\left(x?\frac{d}{2}\right)}^2+2k?\lambda \sqrt{L^2+{\left(x?\frac{d}{2}\right)}^2}$$
整理并把帶根號的項單獨放在右側：
$$2xd?k^2{\lambda }^2=2k?\lambda \sqrt{L^2+{\left(x?\frac{d}{2}\right)}^2}$$
兩邊再取平方得到關于$x$的一元二次方程僅含二次型和常數項：
$$x^2\left(4d^2?4k^2{\lambda }^2\right)=4k^2{\lambda }^2{L}^2+d^2{k}^2{\lambda }^2?k^4{\lambda }^4$$
所以得到：

$$x=\pm k?\lambda ?\sqrt{\frac{4L^2+d^2?k^2{\lambda }^2}{4d^2?4k^2{\lambda }^2}}$$

下面只做 近似，當 $k$ 絕對值不是很大的時候
(之后應該能發現，這意味著偏離屏幕中心越遠、近似公式誤差越大；但是在教材推導的假設中不能體現這一點)：

當 $k$ 值不是很大時，在屏幕中心附近的適當范圍內：

分母： 因為$d>>\lambda$，所以 $4d^2?4k^2{\lambda }^2\approx 4d^2$，

分子：因為$L>>d>>\lambda$，所以 $4L^2+d^2?k^2{\lambda }^2\approx 4L^2$，

從而： $$x\approx \pm k?\lambda ?\frac{L}{d}$$

分析討論

回到前面對推導過程是否合理而設定的幾個標準：

它不遺漏結果中本應包含的關鍵假設，$k$太大時，近似公式的誤差會增大，這跟實驗是相符的，遠離屏幕中心的時候，光程差絕對值增大，但是誤差也增大（當然，實際中可能還有衍射強度、狹縫寬度等因素）；但教材中目前的推導遺漏了這樣的前提或假設，無法體現這樣一個使用近似公式的前提條件；

它使用的假設、近似的個數更少、更簡潔；明顯可以看到，第二個推導用的假設最少，只有 $L>>d>>\lambda$：

它沒有使用明顯不合理的假設：比如推導的結果應該在 $x\in [0,+\infty )$ 都適用，靠近屏幕中心附近精度應該更好，但是在確定 $\tan \theta \approx \frac{x}{L}$ 的時候，經典的教科書中的推導方法卻實際上假設了 $x>>d$，這意味著 導出的結果對于 $x$接近0的范圍內反而不適用，這是不合理的。

看一個實際實驗中可能采用的典型的 $L,d,\lambda$ 取值的組合，幫助理解下“遠大于” $>>$ 符號的含義：

$$?\begin{array}{crrrc}L=1\mathrm{m}& =& 1000& \mathrm{m}\mathrm{m}& \\ d& =& 2& \mathrm{m}\mathrm{m}& \\ \lambda =500\mathrm{n}\mathrm{m}& =& 5\times 10^{?4}& \mathrm{m}\mathrm{m}& \end{array}$$

一個500倍，一個2000倍，當$k$的值不是太大(光程差對應的周期數不是太多)的時候，取近似對有效數字的影響的確小： 即使 $k=20$ 仍有100倍 $d/\lambda$ 比值，取近似的時候所涉及的它們平方的比值仍有10000倍之差距。

之所以這里直接指認中學教材里對干涉條紋位置的近似公式的推導方法是錯誤的，在于以下對比：自己今天實際動手用初等方法（即上述第二種）推導之后，發現無須高等數學、無須過度假設也可以得到正確的結果；而國內外教材中迄今為止常用的第一種推導方法、雖然大同小異，但都繞不開必須引入的不合理的假設。

——從邏輯上講，結論正確、并不能說明過程也一定對。

第三種推導的可能及其所用假設

有沒有其它可能的初等的推導方法？當然有。

注意到：$$r_2^2?r_1^2=\left(L^2+(x+\frac{d}{2})\right)?\left(L^2+(x?\frac{d}{2})\right)=2x?d$$
$$\therefore (r_2?r_1)?(r_2+r_1)=2x?d$$
$$\therefore 2x?d=\delta ?(r_2+r_1)=k?\lambda ?(r_2+r_1)$$
$$\therefore x=k?\lambda ?\frac{r_2+r_1}{2?d}\approx k?\lambda ?\frac{2?L}{2?d}=k?\lambda \frac{L}{d}$$

所用到的唯一的一個近似步驟是把 :
$$r_1+r_2=\sqrt{L^2+{\left(x+\frac{d}{2}\right)}^2}+\sqrt{L^2+{\left(x?\frac{d}{2}\right)}^2}$$

近似地縮小為 $2?L$而已。這里假設一個存疑之處可能在于，假設條件中包含了未知數 $x$，是否合理？ 即要求：

$$L>>\left|x+\frac{d}{2}\right|,L>>\left|x?\frac{d}{2}\right|$$

第一個假設意味著包含了， $L>>x,L>>d$。關于$x$ 的假設是否能用來說明 $k$ 也不能太大、畢竟作假設的時候 $x$ 未知？此外，$d>>\lambda$算不算遺漏？——如果套用三個標準，看上去這個推導方法也不理想，但是把 $x$ 近似公式作等價變換則能夠發現，它所涉及的假設跟前面的同出一轍，算是等價的。唯一遺憾的一點是把未知的 $x$ 納入假設之中，合理性有陰影。這兩種方法跟教材中方法不同的共同點是， 跟所謂 $\theta$ 并無關系，無須額外的假設。

不過回到我重新推導這個近似公式的初衷，難道不覺得物理學中的近似其實都很無厘頭嗎？明明只是近似，但是涉及到的地方都拿它嚴格來用。比如這個干涉條紋位置的公式，跟這個有關的很多后續各種推理實際上都基于這里的“近似”的推導，基于此而得到的結果原來也都不過是“近似”。 ——所以說，物理學中的很多”科學性、合理性“其實是有那么一點點坑爹的你造嗎？我猶豫：自己還要不要繼續迷信下去呢？

此外，“糾結”的感受來自當年的一道邏輯上有問題的、跟雙縫衍射有關的高考題。考場上我發現一道多項選擇題有邏輯上的歧義性，某個選項如果從邏輯無瑕疵的角度是要選上的，而從中學物理解題的思維習慣上看是不選的。——我選擇了服從自己的良心，對答案的時候發現自己的良心被黑了。而且那個時候沉浸在后高考的巨大情緒之中，也其實上訴無門，一直埋在我心里。——同時，也基于年復一年、對這樣一個事實逐漸的領會：不論編寫教材，還是出高考試題，這類過程的參與者都會犯各種錯，然而糾錯的機制并不完善。

結論

我表達的意思只有一個：我找到的這個推導方法看起來是最合理的、而教材中的推導看起來很垃圾。我還為它定制了一套評價標準。

世界上也許并沒有正確的道理，只要相信的人多了，一個“道理”就看上去貌似合理或正確了，這跟“道理”本身是正確的還是胡攪蠻纏的并無聯系。這是“迷信”類的信仰已經能被證偽、仍有廣大受眾擁躉一樣，看似好笑、實則屬實。

——如果糾結于少數人自以為正確的道理而浪費時間去辯論，其實是荒謬的。回到本文討論的同一近似公式的不同推導方法的選擇問題，辯論孰是孰非其實是浪費時間和無意義的，選擇適合自己的方法作為自己記憶之用即可：反正教材是這么用的，即使你用了又有反對者，讓他們找寫教材的人講道理去即可。

在實際的計算能力已經比以往大大增強了的今天，由于有計算機和各種輔助計算工具，即使不作這種近似處理，而是直接用

$$k?\lambda =\sqrt{L^2+{\left(x+\frac{d}{2}\right)}^2}?\sqrt{L^2+{\left(x?\frac{d}{2}\right)}^2}$$
計算起來也沒有太大的問題。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Young氏双缝干涉实验近似公式推导的传统谬误的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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