1，函數(shù)
1.1 函數(shù)的定義
　　函數(shù)（function）的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義，函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動變換的觀點(diǎn)出發(fā)。函數(shù)的近代定義是給定一個(gè)數(shù)據(jù)集A，假設(shè)其中的元素為x，對A中的元素施加對應(yīng)法則 f ，記做 f(x)，得到另一數(shù)據(jù)集B，假設(shè)B中的元素為y，則 x 和 y 之間的等量關(guān)系可以用 y = f(x) 表示。函數(shù)概念含有三個(gè)要素：定義域A，值域B和對應(yīng)法則 f 。其中核心為對應(yīng)法則 f，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。

在一個(gè)變換過程中，發(fā)生變化的量叫變量（數(shù)學(xué)中，變量為 x ，而 y 則隨 x 值的變化而變化），有些數(shù)值是不隨變量而改變的，我們稱他們?yōu)槌Ａ俊?/p>

自變量（函數(shù)）：一個(gè)與它量有關(guān)系的變量，這一量中的任何一值都能在它量中找到對應(yīng)的固定值。

因變量（函數(shù)）：隨著自變量的變化而變化，且自變量取唯一值時(shí)，因變量（函數(shù)）有且只有唯一值與其對應(yīng)。

函數(shù)值：在 y 是 x 的函數(shù)中，x 確定一個(gè)值，y 就隨之確定一個(gè)值，當(dāng) x 取 a 時(shí)， y 就 隨之確定為 b，b 就叫做 a 的函數(shù)值。

注意：符號只是一種表示，任何符號都是幫助我們理解的，它本身沒有特殊的含義。都是我們給予賦值操作，也可以如下：

1.2 常見的幾種函數(shù)
　　分段函數(shù)：就是對于自變量x 的不同取值范圍，有著不同的解析式的函數(shù)。它是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)；分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集，值域也是各段函數(shù)值域的并集。

反函數(shù)：一般來說，設(shè)函數(shù) y = f(x) 的值域?yàn)镃，若是找得到一個(gè)函數(shù) g(y) 在每一處 g(y) 都等于 x，這樣的函數(shù) x = g(y) 叫做函數(shù) y = f(x) 的反函數(shù)，記做 x = f-1(y)。反函數(shù) x = f-1(y) 的定義域，值域分別為函數(shù) y = f(x) 的值域，定義域。最具代表性的反函數(shù)就是對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)。

顯函數(shù)與隱函數(shù)：顯函數(shù)是函數(shù)的類型之一，解析式中明顯的用一個(gè)變量的代數(shù)式表示另一個(gè)變量時(shí)，稱為顯函數(shù)；如果方程F(x, y) =0 能確定 y 是 x 的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)。

狄利克雷函數(shù)：是一個(gè)定義在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，值域不連續(xù)的函數(shù)。狄利克雷函數(shù)的圖像以Y軸為對稱軸，是一個(gè)偶函數(shù)，它處處不連續(xù)，處處極限不存在，不可黎曼積分。這是一個(gè)處處不連續(xù)的可測函數(shù)。

實(shí)數(shù)域上的狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)表示為：

其中：k,j 為整數(shù)。

也可以簡單的表示為分段函數(shù)的形式，如下：

狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)：

1，定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)域R，值域?yàn)閧0, 1}，函數(shù)為偶函數(shù)
2，無法畫出函數(shù)周期，但是它的函數(shù)圖像客觀存在
3，以任意正有理數(shù)為其周期，無最小正周期（由實(shí)數(shù)的連續(xù)統(tǒng)理論可知其無最小正周期）
4，處處不連續(xù)，處處不可導(dǎo)，在任何區(qū)間內(nèi)黎曼不可積
5，函數(shù)是可測函數(shù)
6，函數(shù)是周期函數(shù)，但是卻沒有最小正周期，它的周期是任意負(fù)有理數(shù)和正有理數(shù)。因?yàn)椴淮嬖谧钚∝?fù)有理數(shù)和正有理數(shù)，所以狄利克雷函數(shù)不存在最小正周期
　　黎曼函數(shù)：是一個(gè)特殊函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)提出，黎曼函數(shù)定義在 [0, 1]上。黎曼函數(shù)在高數(shù)中被廣泛應(yīng)用，在很多情況下可以作為反例來驗(yàn)證某些函數(shù)方面的待證命題。

其基本定義如下：

正態(tài)分布：

（μ 是期望， σ2 是方差）

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：

（μ 是期望=0， σ2 是方差=1）

1.3 函數(shù)的特性
有界性

設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間 X 上有定義，如果存在 M>0，對于一切屬于區(qū)間 X 上的 x，恒有 | f(x) | <= M，則稱 f(x) 在區(qū)間 X上有界，否則稱 f(x) 在區(qū)間上無界。

奇偶性

設(shè) f(x) 為一個(gè)實(shí)變量實(shí)值函數(shù)，若此函數(shù)關(guān)于 y 軸對稱，則稱 f(x) 為偶函數(shù)。

f(-x) = f(x)

偶函數(shù)例子：

設(shè) f(x) 為一個(gè)實(shí)變量實(shí)值函數(shù)，若此函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱 f(x) 為奇函數(shù)。

f(-x) = -f(x)

奇函數(shù)例子：

周期性

設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)镈。如果存在一個(gè)正數(shù) T，使得對于任一 x 屬于 D 有 （x±T）屬于D，且 f(x + T) = f(x)恒成立，則稱 f(x) 為周期函數(shù)， T稱為 f(x) 的周期，通常我們說周期函數(shù)是指最小正周期。公式如下：

周期函數(shù)的定義域 D為至少一邊的無界區(qū)間，若 D 為有界的，則該函數(shù)不具周期性。并非每個(gè)周期函數(shù)都有最小正周期，例如狄利克雷函數(shù)。

單調(diào)性

設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)?D，區(qū)間 I 包含于 D。如果對于區(qū)間上任意兩點(diǎn) x1 及 x2，當(dāng) x1 < x2 時(shí)，恒有 f(x1) < f(x2)，則稱函數(shù) f(x) 在區(qū)間 I 上是單調(diào)遞增的；如果對于區(qū)間 I 上任意兩點(diǎn) x1 及 x2，當(dāng) x1 < x2時(shí)，恒有 f(x1) > f(x2)，則稱函數(shù) f(x) 在區(qū)間 I 上是單調(diào)遞減的。單調(diào)遞增和單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱為 單調(diào)函數(shù)。

1.4 函數(shù)的極限
　　學(xué)習(xí)極限之前，先看一下數(shù)列：

數(shù)列

數(shù)列（sequence of number）是以正整數(shù)集為定義域的函數(shù)，是一列有序的數(shù)；即按照一定次數(shù)排列的一列數(shù)：u1, u2, … un, …，其中 排在第一位的數(shù)列為這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)（也叫首項(xiàng)）， un 叫做通項(xiàng)。

著名的數(shù)列有：斐波那契數(shù)列，三角函數(shù)，楊輝三角等。

對于數(shù)列 {un} ，如果當(dāng) n 無限增大時(shí)，其通項(xiàng)無限接近于一個(gè)常數(shù) A，則稱該數(shù)列以 A 為極限或稱數(shù)列收斂于 A，否則稱數(shù)列為發(fā)散：

舉個(gè)例子：

函數(shù)極限

極限定義：設(shè)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x0 的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù) ε （無論它多么小），總存在正數(shù) δ ，使得當(dāng) x 滿足不等式 0 < |x - x0| < δ 時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值 f(x) 都滿足不等式：

那么常數(shù) A 就叫做函數(shù) f(x) 當(dāng) x——> x0 時(shí)的極限，記做：

函數(shù)極限可以分為下面六種：

1.5 極限存在準(zhǔn)則
　　有些函數(shù)的極限很難或難以直接運(yùn)用極限運(yùn)算求得，需要先判定。下面學(xué)習(xí)幾個(gè)常用的判定數(shù)列極限的定理。

1.5.1 夾逼定理

（1） 當(dāng) x € U(x0, r) （這是 x0 的去心鄰域，有個(gè)符號打不出）時(shí)，有下面公式成立：

（2） f(x) 極限存在，且等于A 的條件是：

簡單說：就是找出一個(gè)比原式小的式子和一個(gè)比原式大的式子證明他們倆的極限相同且為a，則原式極限也為 a。

由夾逼定理可以推出一個(gè)重要極限：

下面證明一下：

關(guān)于 弧長公式：弧長 = θ*r，θ 是弧度，r 是半徑。

1.5.2 單調(diào)有界準(zhǔn)則

單調(diào)增加（減少）有上（下）界的數(shù)列必定收斂。

在運(yùn)用上面兩條去求函數(shù)的極限的時(shí)候尤其需要注意以下關(guān)鍵點(diǎn)。一是要用單調(diào)有界定理證明收斂，然后再求極限值。二是應(yīng)用夾逼定理的關(guān)鍵是找出極限相同的函數(shù)，并且要滿足極限是趨于同一方向，從而證明或求得函數(shù)的極限值。

單調(diào)有界定理：單調(diào)有界數(shù)列必收斂（有極限）。具體的說：

（1）若數(shù)列 {Xn} 遞增且有上界，則：

（2）若數(shù)列 {Xn} 遞減且有下界，則：

1.5.3 柯西收斂準(zhǔn)則

數(shù)列 {Xn} 收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數(shù) ε ，總存在正整數(shù) N，使得當(dāng) m>N，n>N時(shí)，且 m≠n，有 |Xm - Xn| < ε。我們把滿足該條件的 {Xn} 稱為柯西序列，那么上述定理可以表述為：數(shù)列{Xn}收斂，當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)柯西序列。

1.6 課程中的PPT

1.7 常見函數(shù)極限公式
　　首先說一下常見函數(shù)求極限的方法：

1，分母極限為零時(shí)，分解因式，湊公式
2，當(dāng) x 趨于無窮時(shí)，除以最高指數(shù)的 Xn
3，等價(jià)無窮小量代換：

下面看一下常見函數(shù)極限公式：

1.8 常用數(shù)學(xué)記號

2，函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)
2.1 函數(shù)連續(xù)性定義
　　設(shè)函數(shù) f 在某鄰域 U(x0) 內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的改變量 Δx 趨于零時(shí)，相應(yīng)函數(shù)的改變量 Δy 也趨近于零，則稱 y=f(x) 在點(diǎn) x 處連續(xù)：

則稱 f 在點(diǎn) x0 處連續(xù)。

函數(shù)連續(xù)必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：

1，函數(shù)在 x0 處有定義
2，x->x0時(shí)候，函數(shù)在該點(diǎn)處極限 lim f(x) 存在
3，x->x0時(shí)候，函數(shù)在該點(diǎn)處極限值 lim f(x) 等于函數(shù)值 f(x0)
　　定理1：函數(shù) f 在點(diǎn) x0 處連續(xù)性的充要條件是：f 在點(diǎn) x0 既是左連續(xù)，又是右連續(xù)。

初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的；函數(shù) f(x) 在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù) f(x) 為連續(xù)函數(shù)。下圖左為連續(xù)函數(shù)，右圖為間斷函數(shù)。

2.2 函數(shù)間斷點(diǎn)
　　設(shè)函數(shù) f 在某 U0(x0) 內(nèi)有定義，若 f 在點(diǎn) x0 無定義，或在點(diǎn) x0 有定義而不連續(xù)，則稱點(diǎn) x0 為函數(shù) f 的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。

函數(shù)間斷點(diǎn)分為兩種情況：

1，可去間斷點(diǎn)：若：

而 f 在點(diǎn) x0 處無定義，或有定義但 f(x0) != A ，則稱 x0 為 f 的可去間斷點(diǎn)。

2，跳躍間斷點(diǎn)：若函數(shù) f 在點(diǎn) x0 的左，右極限都存在，但：

則稱點(diǎn) x0 為函數(shù) f 的跳躍間斷點(diǎn)。

可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)的特點(diǎn)是函數(shù)在該點(diǎn)處的左右極限都存在。

函數(shù)的所有其他形式的間斷點(diǎn)，即使得函數(shù)至少有異側(cè)極限不存在的那些點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn)。

2.3 課程中的PPT
　　下面為連續(xù)性和間斷點(diǎn)的兩個(gè)例子：

3，導(dǎo)數(shù)
3.1 導(dǎo)數(shù)定義
　　設(shè)函數(shù) y = f(x) 在點(diǎn) x0 的某鄰域內(nèi)有定義，若極限：

存在，則稱函數(shù) f 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù) f 在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)，記為 f '(x0)

f’(x) 也可以定義如下：

3.2 左右導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義
　　函數(shù) f(x) 在 x0 處的左，右導(dǎo)數(shù)分別定義為：

左導(dǎo)數(shù)：

右導(dǎo)數(shù)：

3.3 常用導(dǎo)數(shù)公式
　　基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式：

3.4 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則
　　設(shè) u = u(x)， v = v(x) 均為 x 的可導(dǎo)函數(shù)，則有：

3.5 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系
　　即連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，即函數(shù)可導(dǎo)必然連續(xù)；不連續(xù)必然不可導(dǎo)；連續(xù)不一定可導(dǎo)。

主要為以下幾個(gè)定理：

定理1：若函數(shù) f 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo)，則 f 在點(diǎn) x0 處連續(xù)。

注意：可導(dǎo)僅僅是函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)的充分條件，而不是必要條件，如函數(shù) f(x) = |x| 在點(diǎn) x=0 處連續(xù)，但不可導(dǎo)。

定理2：若函數(shù) y = f(x) 在點(diǎn) x0 的某鄰域內(nèi)有定義，則 f’(x0) 存在的充要條件是 f '+(x0) 與 f '-(x0) 都存在，且：

定理3（費(fèi)馬定理）：設(shè)函數(shù) f 在點(diǎn) x0 的某鄰域內(nèi)有定義，且在點(diǎn) x0 處可導(dǎo)，若點(diǎn) x0 為 f 的極值點(diǎn)，則必有：

我們稱滿足方程 f ’ = 0 的點(diǎn) o 為穩(wěn)定點(diǎn)。

定理4：函數(shù) f 在點(diǎn) x0 可微的充要條件是函數(shù) f 在點(diǎn) x0 可導(dǎo)，而且常量 A等于 f '(x0)

4，梯度
　　在學(xué)習(xí)梯度之前，先學(xué)習(xí)兩個(gè)基本概念

4.1 偏導(dǎo)數(shù)
　　在數(shù)學(xué)中，一個(gè)多變量的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，就是它關(guān)于其中一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)而保持其他變量恒定（相對于全導(dǎo)數(shù)，在其中所有變量都允許變換）。偏導(dǎo)數(shù)在向量分析和微分幾何中是很有用的。

在一元函數(shù)中，導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率。如下圖所示，對于一元函數(shù) y = f(x) 只存在 y 隨 x 的變化：

二元函數(shù) z = f(x, y) 存在 z 隨 x 變化的變化率，隨 y 變化的變化率，隨 x, y 同時(shí)變化的變化率：

在 XOY 平面內(nèi)，當(dāng)動點(diǎn)由 P(x0, y0) 沿不同方向變化時(shí)，函數(shù) f(x, y) 的變化快慢一般來說是不同的，因此就需要研究 f(x, y) 在 (x0, y0) 點(diǎn)處沿不同方向的變化率。在這里我們只學(xué)習(xí)函數(shù) f(x, y) 沿著平行于 x 軸和平行于 y 軸兩個(gè)特殊方位變動時(shí)，f(x, y) 的變化率。

偏導(dǎo)數(shù)的表示符號為：?

偏導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)沿著坐標(biāo)軸正方向的變化率。

方向x的偏導(dǎo)定義：設(shè)存在函數(shù) z = f(x, y) 在點(diǎn) (x0, y0) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，固定 y=y0，而讓x 在 x0 出有增量，則相應(yīng)的函數(shù) z=f(x, y) 有增量，那么增量表示為：Δz = f(x0+Δx, y0) - f(x0, y0)。

如果 Δz 與 Δx 之比，當(dāng) Δx->0 時(shí)的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù) z=f(x, y)在 (x0, y0) 處對 x 的偏導(dǎo)數(shù)，記做 f 'x(x0, y0) 或者函數(shù) z = f(x, y) 在 (x0, y0) 處對 x 的偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上就是把 y 固定在 y0 看成常數(shù)后，一元函數(shù) f(x, y0) 在點(diǎn) x = x0 處可導(dǎo)，即極限：

則稱A為函數(shù) Z=f(x, y) 在點(diǎn) (x0, y0) 處關(guān)于自變量 x 的偏導(dǎo)數(shù)，記做：fx(x0, y0)，或者：

y方向的偏導(dǎo)：同理，把 x 固定在 x0，讓 y 有增量 Δy，如果極限存在那么此極限稱為函數(shù) z = f(x, y) 在 (x0, y0) 處對 y 的偏導(dǎo)數(shù)，記做 f’y(x0, y0)。

幾何意義：表示固定面上一點(diǎn)的切線斜率。

偏導(dǎo)數(shù) f 'x(x0, y0) 表示固定面上一點(diǎn)對 x 軸的切線斜率

偏導(dǎo)數(shù) f’y(x0, y0) 表示固定面上一點(diǎn)對 y 軸的切線斜率

下面給個(gè)例子，求偏導(dǎo)數(shù)：

4.2 方向?qū)?shù)
　　在函數(shù)定義域的內(nèi)點(diǎn)，對某一方向得到的導(dǎo)數(shù)。一般為二元函數(shù)和三元函數(shù)的方向?qū)?shù)，方向?qū)?shù)可分為沿直線方向和沿曲線方向的方向?qū)?shù)。

定義：設(shè)函數(shù) z = f(x, y) 在點(diǎn) p(x, y) 的某一鄰域 U§ 內(nèi)有定義，自點(diǎn) p 引射線 l，自 x 軸的的正向到射線 l 的轉(zhuǎn)角為 Ψ。P '(x + Δx, y + Δy) 為 l 上的另一點(diǎn)，若存在：

則稱此極限值為 f(x, y) 在點(diǎn) P 沿方向 l 的方向?qū)?shù)，記做 ?f / ?l，其計(jì)算公式為：

沿直線方向：設(shè) M0 = (x0, y0, z0) 為數(shù)量場 u=u(M) 中的一點(diǎn)，從點(diǎn) M0 出發(fā)引一條射線 l（其方向用 l 表示），在 l 上點(diǎn) M0 的鄰近取一動點(diǎn) M(x0 + Δx, y0 + Δy， z0 + Δz)，記：

如圖所示，若當(dāng) M -> M0 時(shí)，下分式的極限存在，則稱它為函數(shù) u(M) 在點(diǎn) M0 處沿 l 方向的方向?qū)?shù)，記做 ?f / ?l|M0,即：

4.3 梯度
　　梯度的本意是一個(gè)向量（矢量），表示某一函數(shù)在該點(diǎn)處的方向?qū)?shù)沿著該方向取得最大值，即函數(shù)在該點(diǎn)處沿著該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大（為該梯度的模）。

函數(shù) z = f(x, y) 在平面域內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，對于其中每一個(gè)點(diǎn) P(x, y) 都可以定出一個(gè)向量：

該函數(shù)就稱為函數(shù) z = f(x, y) 在點(diǎn) P(x, y) 的梯度，記為 gradf(x, y)。

數(shù)學(xué)分析筆記：https://blog.csdn.net/weixin_37411514/article/details/97903625

不經(jīng)一番徹骨寒 怎得梅花撲鼻香

總結(jié)

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