高级碰撞检测及响应算法——碰撞检测
1.概述
移動(dòng)的物體可以由橢球體近似表達(dá)，這種橢球體更容易逼近類人和動(dòng)物的形狀，比如說人的頭，就是一個(gè)X-Y-Z軸半徑相等的橢球體，髖骨，盆骨等都可以較好地用橢球體體現(xiàn)出來。多個(gè)橢球體組成的集合的形狀也使它們易于在障礙物上平滑地移動(dòng)，這一點(diǎn)在3D游戲中顯得特別重要，因?yàn)橥婕医^不希望在激烈的戰(zhàn)斗中自己被卡在某個(gè)死角里不能動(dòng)彈。
我們希望能在場景中來回移動(dòng)我們的物體（或者角色）。它可以由一個(gè)橢球體表現(xiàn)，其中橢球體的中心位置代表了角色的位置，半徑向量則定義了橢球體沿三個(gè)軸向的尺寸。見圖3.1。
圖3.1：橢球體的半徑向量
通過對角色施加某方向的力，他就能在場景世界中移動(dòng)。這個(gè)過程由速度向量（velocity vector）表示。我們希望橢球體能夠在場景世界中移動(dòng)，那么它的新的位置等于它當(dāng)前位置加上速度向量。見圖3.2。
圖3.2：通過一個(gè)速度移動(dòng)橢球體
但是我們還不清楚我們是否能成功完成這個(gè)移動(dòng)，因?yàn)榭赡茉谶^程中會(huì)出現(xiàn)一些事情，例如組成場景世界的一個(gè)或者多個(gè)三角片擋住了橢球體的去路。我們不可能事先準(zhǔn)確地知道橢球體會(huì)撞上哪個(gè)三角片，所以我們應(yīng)該檢查所有的三角片（這里，可以將一個(gè)大的網(wǎng)格體化分成一個(gè)八叉樹，這個(gè)八叉樹被用來幫助我們檢查那些靠近角色的三角片）。同時(shí)，我們還不能在檢測到一個(gè)可能碰撞的三角片后就立即停止檢測，因?yàn)槲覀円獧z測出所有潛在的障礙，近而找出最近的那一個(gè)碰撞。如果我們檢測到了一個(gè)與三角片A發(fā)生的碰撞后就停止，而沒有繼續(xù)檢測其它的三角片，例如三角片B，那么將發(fā)生如圖3.3所示的情況，即三角片B比三角片A更先發(fā)生碰撞。
圖3.3：必須檢測所有的三角片
碰撞檢測過程應(yīng)該為后繼的響應(yīng)階段提供至少兩個(gè)必要的信息：
?? *?? 球體在場景中的碰撞位置。
?? *?? 球體發(fā)生碰撞之前，沿速度方向到碰撞點(diǎn)的距離。
所以，對于單個(gè)三角片的碰撞檢測，我們首先要清楚是否會(huì)發(fā)生碰撞（這將產(chǎn)生一個(gè)bool值），如果發(fā)生了碰撞，算法應(yīng)該能夠?yàn)榕鲎岔憫?yīng)提供上述兩個(gè)必要的信息。
2.單個(gè)三角片的檢測
在e空間中，有一個(gè)三角片，它由p1，p2和p3三個(gè)頂點(diǎn)所定義，它們以順時(shí)鐘排序。另外有一個(gè)球體，它位于基點(diǎn)，basePoint，并正沿著它的速度方向運(yùn)動(dòng)，速度大小為velocity。如果我們用 t 作為自變量，用方程表達(dá)球體的運(yùn)動(dòng)過程，那么我們有球體的位置方程：
在三維空間中，一個(gè)球體可以由它的位置和半徑唯一表示（在e空間中半徑是1）。對于運(yùn)動(dòng)的球體，半徑是常數(shù)但是位置是不斷變化的。上面的公式給出了球體在任何時(shí)刻 t 的位置，這就是所謂的掃掠球（swept sphere）。圖3.4表示了這種關(guān)系，這一點(diǎn)很重要。由于velocity的大小不清楚，但它與時(shí)間的乘積直接影響著掃掠球的位置，而掃掠球每次所作的檢測只在一個(gè)velocity的長度范圍內(nèi)。那么問題可以轉(zhuǎn)化為：能否在一個(gè)[ 0,velocity ]范圍內(nèi)找到碰撞的情況，或者說能否在［0，1］的范圍內(nèi)，找到能滿足碰撞特征的t值。在此過程中，解二次方程所得到的t 值的情況，跟velocity的大小有關(guān)，圖3.9說明了這種關(guān)系。
圖3.9：速度大小與碰撞的可能情況
同時(shí)，對于當(dāng)前掃掠球的位置而言，可能與它所面對的三角片發(fā)生5種關(guān)系。具體來講：
?? ***?? 當(dāng)VN=0時(shí)，此時(shí)球體平行于平面運(yùn)動(dòng)，球體中心到平面的距離要么為1， 要么小于等于1。對于前一種情況，檢測提前退出；對于后一種情況，顯然在t[0,1]范圍內(nèi)的所有球體位置中，球體與平面均保持相交。
?? ***?? 當(dāng)VN不等于0時(shí)，此時(shí)球體總會(huì)與平面發(fā)生碰撞（前提是速度方向有正對平面正面的分量），其形式無非有4種。第一種就是與三角片平面相交，但是不與三角片相交。
?? ***?? 球體與三角片內(nèi)部某點(diǎn)相交。
?? ***?? 球體與三角片某頂點(diǎn)相交。
?? ***?? 球體與三角片某邊緣相交。
圖3.4：球體的位置方程
算法的檢測程序就從這里開始。其功能是用檢測函數(shù)將一個(gè)掃掠球信息體（空間速度與位置、碰撞是否發(fā)生、什么地方發(fā)生和發(fā)生距離等）與單個(gè)三角片信息體（主要是三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)信息）進(jìn)行碰撞檢測。并不斷循環(huán)調(diào)用該函數(shù)，同時(shí)更換函數(shù)中的三角片信息體，使當(dāng)前掃掠球與所有的三角片都被檢測到，最后整理并填入掃掠球信息體中的碰撞信息，并在響應(yīng)過程中更新速度與位置信息。
下面，第一個(gè)任務(wù)是檢測掃掠球是否與三角片所在的平面相交。如果不相交，掃掠球當(dāng)然不會(huì)跟三角片相交。所以我們構(gòu)造一個(gè)平面，叫三角片平面trianglePlane，它是由三角片的三個(gè)頂點(diǎn)所確定的平面。如果我們有單位化的平面法向量N和平面常數(shù)Cp，那么我們可以計(jì)算點(diǎn)p到平面的有符號距離（signed distance）：
圖3.5可以看出該方法的原理。
圖3.5：點(diǎn)p到平面的有符號距離的計(jì)算
圖中OP為p點(diǎn)的方向向量，圖中OI線段是N?p的絕對值，Cp是ON段所表示的距離，兩者之和為p點(diǎn)到三角片平面的符號距離。之所以叫符號距離，是因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)p位于三角片的正面區(qū)域（即法向量所指的一側(cè)）時(shí)，該距離為正值；如果點(diǎn)p位于三角片的反面區(qū)域，該距離為負(fù)值。
如果掃掠球與三角片平面相交，如果速度大小剛好合適，那么總存在一個(gè)時(shí)刻 t0，掃掠球剛好位于平面的“前邊”（front side），此時(shí)掃掠球（中心點(diǎn)）到三角片平面的有符號距離剛好為1；如果速度足夠大，則它會(huì)穿越三角片平面，在某時(shí)刻 t1，它剛好位于平面"后邊"（back side），則在時(shí)間t∈[t0,t1]上，掃掠球與平面處于相交狀態(tài)。那么我們可以這樣計(jì)算時(shí)刻 t0：
時(shí)刻 t1 是掃掠球到三角片平面的有符號距離剛好為-1時(shí)的時(shí)間點(diǎn)。同樣，我們可以得到 t1：
如果 t0和 t1都不在［0,1］的范圍內(nèi)，即不在一次掃掠檢測范圍內(nèi)，那么我們可以知道在速度方向上，掃掠球沒有（或者說還沒有）跟平面相交，于是不可能與三角片相交。否則，我們知道碰撞應(yīng)該發(fā)生在時(shí)刻tcollisoin∈［t0,t1］。注意有一個(gè)特殊情況，如果N*velocity=0——那么我們不能使用上面的公式。但是這種情況在什么時(shí)候發(fā)生呢？它發(fā)生在速度向量垂直于平面法向量，或者說球體平行于平面運(yùn)動(dòng)的時(shí)候。這種情況下，有兩種可能，一種是從basePoint點(diǎn)到三角片平面的絕對距離小于1，即嵌入三角片平面中。如果是這樣，我們直接將變量設(shè)為：t0=0、t1=1，那么掃掃掠球?qū)⒃谝淮螜z測范圍內(nèi)總是與平面相交。另一種是絕對距離大于1，那么我們知道碰撞不可能發(fā)生，可以提前結(jié)束檢測。
既然我們知道了兩個(gè)時(shí)刻 t0和 t1的值（可能兩個(gè)值相同），那么出現(xiàn)了三種潛在的碰撞情況：
?? *?? 在三角片內(nèi)碰撞。
?? *?? 與三角片其中一個(gè)頂點(diǎn)碰撞。
?? *?? 與三角片其中一條邊緣碰撞。
3.三角片內(nèi)碰撞
這種碰撞情況最常見（當(dāng)然取決于三角片的面積），如果掃掠球確實(shí)在三角片內(nèi)部相交，那么可以說與頂點(diǎn)或者邊緣的碰撞幾率將變得很小，所以如果我們能快速地檢測出發(fā)生在三角片內(nèi)的碰撞，那么我們將節(jié)約大量的用于檢測發(fā)生在頂點(diǎn)或者邊緣的碰撞情況的時(shí)間。所以，我們先看這種情況。注意，這種情況只會(huì)發(fā)生在球體并沒有嵌入平面的時(shí)候，即N*velocity≠0時(shí)。一個(gè)嵌入到平面的球體只可能與頂點(diǎn)或者邊緣碰撞，就像游泳的人只能撞到島嶼的邊緣或者頂角一樣。
這里，主要計(jì)算出平面上的球體的接觸點(diǎn)，我們將它叫作planeIntersectionPoint。我們已經(jīng)知道接觸發(fā)生在時(shí)刻 t0，該時(shí)刻是球體位于平面前邊的臨界時(shí)刻，但是這個(gè)接觸點(diǎn)究竟在平面上哪個(gè)位置？這個(gè)平面接觸點(diǎn)用如下的公式計(jì)算：
圖3.6解釋了這個(gè)公式的具體意義。球體上首先撞擊平面的點(diǎn)由basePoint-planeNormal給出，接觸點(diǎn)發(fā)生在時(shí)刻t0。
圖3.6：三角片平面上的交點(diǎn)
現(xiàn)在我們要做的就是檢查planeIntersectionPoint是否在三角片內(nèi)部。有很多種函數(shù)方法完成這個(gè)功能。如果點(diǎn)在三角片內(nèi)，那么我們得到了碰撞檢測的結(jié)論：
?? *?? 三角片平面上的交點(diǎn)就是三角片內(nèi)的碰撞點(diǎn)，intersectionPoint=planeIntersectionPoint
?? *?? 速度方向上，當(dāng)前位置與發(fā)生碰撞的位置之間的距離，intersectionDistance=t0*｜velocity｜
4.掃掠測試（the sweep test）
如果球體沒有碰撞三角片內(nèi)部，那么我們不得不進(jìn)行掃掠測試，從而判斷是否與三角片的頂點(diǎn)或者邊緣碰撞。這種情況下，主要的問題是檢查是否存在一個(gè)時(shí)刻t，t∈[t0,t1]。在這個(gè)時(shí)刻點(diǎn)，掃掠球與頂點(diǎn)或者邊緣發(fā)生了碰撞。
我們先看兩種最簡單的情況——掃掠球與一個(gè)頂點(diǎn)p碰撞。掃掠球與頂點(diǎn)的碰撞發(fā)生在什么時(shí)候呢？如果掃掠球中心與頂點(diǎn)之間的距離為1，那么認(rèn)為兩者發(fā)生了碰撞。為了便于計(jì)算，當(dāng)球中心與頂點(diǎn)中心的距離的平方是1時(shí)發(fā)生碰撞。我們可以先定義一個(gè)等式：
上面的式子可以化為一個(gè)二次方程的形式：
這里，
二次方程通常有兩個(gè)解，這在此例中是有意義的。掃掠球與頂點(diǎn)的距離為1的時(shí)間點(diǎn)可能有兩個(gè)——三角片的正面與反面都存在這個(gè)時(shí)間點(diǎn)。我們關(guān)心的是與頂點(diǎn)的第一個(gè)碰撞（或者說最先與之發(fā)生的碰撞），所以我們?nèi)∽钚≈?#xff08;因?yàn)榻饩褪桥鲎驳臅r(shí)間值）。如果有了合法的最小解x1，那么我們所需的交點(diǎn)數(shù)據(jù)可以得到：
intersectPoint = p
intersectionDistance=x1*|velocity|
即使與頂點(diǎn)發(fā)生了碰撞，我們?nèi)匀灰獧z測三角片的邊緣，看是否可能在更短的時(shí)間點(diǎn)時(shí)，與某一個(gè)片邊緣發(fā)生了碰撞。這種檢測比檢測頂點(diǎn)碰撞更復(fù)雜，但是在本質(zhì)上是一樣的。考慮由p1到p2的邊緣，令
首先我們檢測是否存在某時(shí)間點(diǎn)，掃掠球與一條沿著邊緣方向的直線（infinite line）發(fā)生碰撞。這種情況發(fā)生在掃描球中心與無窮線的距離為1時(shí)。圖3.7描述了這種情況。
?圖3.7：掃掠球與邊緣所在直線碰撞這個(gè)關(guān)系也可以得到一個(gè)二次方程，其中的方程變量系數(shù)為：
?如果該方程有最小值x1，那么我們知道掃掠球會(huì)與直線相交于同一點(diǎn)，但是我們還不知道這個(gè)點(diǎn)是否在三角邊的邊緣線段內(nèi)。所以，如果我們用函數(shù) f 來描述直線L，使得L（f0），那么L(0)=p1，L(1)=p2，圖3.8說明了f0的意義。
圖3.8：判斷交點(diǎn)是否在邊緣線段內(nèi)
于是我們可以在直線上能過計(jì)算f0 判斷交點(diǎn)是否在邊緣線段內(nèi)：
如果f0∈[0,1]，那么交點(diǎn)在邊緣線段中，并且在時(shí)刻x1球碰撞了三角片的邊緣。有關(guān)交點(diǎn)的數(shù)據(jù)如下：
intersectionPoint=p1+f0*edge
intersetionDistance=x1*|velocity|
5.總結(jié)
以上就是碰撞檢測部分的全部內(nèi)容。總結(jié)一下整個(gè)流程：
?? *?? 首先計(jì)算三角片平面
?? *?? 然后找出掃掠球與三角片平面相交的時(shí)間點(diǎn) t0和 t1
?? *?? 接下來檢測發(fā)生在三角片內(nèi)部的碰撞。由于安排在頂點(diǎn)或者邊緣碰撞的前面，所以我們可以節(jié)省下掃掠測試的時(shí)間
?? *?? 然后，我們將球體掃掠三角片的頂點(diǎn)和邊緣
?? *?? 完成以上步驟，我們就知道是否發(fā)生碰撞（bool），在哪里發(fā)生碰撞（intersectionPoint），距離如何(intersectionDistance)，于是我們可以找出最先發(fā)生的那個(gè)碰撞
?? *?? 繼續(xù)檢測下一個(gè)三角片直到所有的三角片都被檢測，最后可知道角色有沒有碰撞，與哪些三角片以何種形式碰撞，以及最先的碰撞是哪個(gè)。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的高级碰撞检测及响应算法——碰撞检测的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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