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威爾遜定理

最早由英國的威爾遜爵士提出

一個大于 (1) 的自然數為 (p) ，則它為質數的充要條件為 ((p-1)!equiv -1(mod p))

證明：

充分性我們使用反證法：設 (p) 是合數，則設其最小質因子為 (a)

由于 (a<p) 故 (aleq p-1) 因此 (amid (p-1)!)

所以 (a
mid [(p-1)!+1])

又因為 ((p-1)!equiv -1(mod p)) 因此 (pmid [(p-1)!+1])

由 (amid p) 得出 (amid [(p-1)!+1]) 矛盾

因此 (p) 不為合數

故 (p) 為質數

必要性我們這么來考慮：

首先 (2-1equiv -1equiv 1equiv 1!(mod 2))

對于任意質數 (p) 考慮整數 (nin[1,p-1]igcap Z) 令 (ncdot nequiv 1(mod p))

解得 (nequiv pm1(mod p))

所以，對于除了 (1) 與 (p-1) 的所有數，一定存在 (m) 使得 (nmequiv 1(mod p))

而除了 (2) 的所有質數一定為奇數，則剩余的 ((p-3)) 個數一定兩兩配對，乘積為 (1)

因此 (displaystyle (p-1)!equiv 1cdotprod_{i=2}^{p-2}icdot (p-1)=1cdot 1cdot (-1)equiv -1(mod p))

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費馬定理

對于整數 (p) ，任意非 (p) 倍數的整數 (a) ，一定有 (a^{p-1}equiv 1(mod p))

考慮到對 (forall n<p,na
mid p)

因此 ([a]) 為 (p) 的一個簡化剩余類， ([na]) 也為一個簡化剩余類

對 (forall n<p,[na]) 互不相同

故 (displaystyle prod_{i=1}^{p-1}(ia)equiv prod_{i=1}^{p-1}i(mod p))

( herefore displaystyle (p-1)!cdot a^{p-1}equiv (p-1)!(mod p))

由威爾遜定理得到 (-1cdot a^{p-1}equiv -1(mod p))

因此得到費馬小定理 (a^{p-1}equiv 1(mod p))

當然，費馬定理還有其它的形式，例如： (a^pequiv a(mod p))

費馬定理的推論

由 (a^{p-1}equiv 1(mod p)) 得

(a^nequiv (a^{p-1})^{n/(p-1)}cdot a^{nmod (p-1)}equiv 1^{n/(p-1)}cdot a^{nmod (p-1)}=a^{nmod (p-1)}(mod p))

因此，對于求與模數互質整數很大的次方，可以用該方法優化

總結

以上是生活随笔為你收集整理的费马小定理与威尔逊定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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