基礎知識點

首先明確期望公式:

[E(X)=∑_ip_i*x_i
]

其中 (p) 代表概率 , (x) 代表發生貢獻。

然后期望的幾點性質:
對于數學期望，我們還應該明確一些知識點：

(1) 期望的“線性”性質
對于所有滿足條件的離散型的隨機變量(X,Y)和常量(a,b)有: $$E(aX+bY)=aE(x)+bE(y)$$
即常說的"期望的和等于和的期望"
類似的,我們還有 (E(XY)=E(X)+E(Y)).

(2)全概率公式

假設({Bn∣n=1,2,3,...}) 是一個“概率空間有限或可數無限”的分割，且集合(Bn)是一個“可數集合”，則對于任意事件(A)有：

[P(A)=∑_nP(A∣Bn)P(Bn)
]

(3)全期望公式

[E(Y)=E(E(Y∣X))=∑_iP(X=xi)E(Y∣X=xi)
]

## 1. P3802 小魔女帕琪
### [題目鏈接](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3802)

Solution

今天被期望虐慘了,去洛谷找了一道顏色最淺的期望題,結果還是被虐了...

首先,很明顯,小魔女會施展(N=sum^{i=1}_7a_i) 次魔法。

我們考慮一個節點 (i) , 以它為起點;
然后有 (7) 種不同顏色的概率即為:

[prod^{i=1}_{7}frac{a_i}{N-i+1}
]

然后,我們可以知道每一次這種結果的貢獻即為其排列數 (7!)
所以對于單點 (i) , 其期望即為:

[P_i=7!*prod^{i=1}_{7}frac{a_i}{N-i+1}
]

由因為這樣的點至多只有 (N-6) 個,所以最終答案即為:

[Ans=(N-6)*7!*prod^{i=1}_{7}frac{a_i}{N-i+1}
]

然后此題代碼十分簡潔.不過十行.

2. UVA12230 Crossing Rivers

題目鏈接

題意翻譯

一個人每天需要從家去往公司,然后家與公司的道路是條直線,長度為 (D)。
同時路上有 (N) 條河,給出起點和寬度(W_i) , 過河需要乘坐速度為(V_i) 的渡船;
船在河中的位置隨機,固定往返時間. 且該人在陸地上行走速度為 1 .求該人去公司的路途的期望時間.

Solution

讓我多了一些對于期望的了解。
考慮過每條河流的最壞情況和最好情況.
1.最壞情況: ((3*W_i)/V_i) ; 此時即船剛剛走。
2.最好情況: (W_i/V_i) ; 此時即船剛好來。

由于船的位置隨機,所以說其滿足期望線性.
所以我們每次過一條河流的期望時間即為: ((2*W_i)/V_i) ;
然后就解決了這個問題.

3. SP1026 FAVDICE - Favorite Dice

題目鏈接

一句話題意:
給一個 (n) 面的骰子,問每一面都被甩到的次數期望是多少.

Solution

這是一道比較好的期望 DP 入門題.
考慮定義 (f[i]) 為有 (i) 面沒有被投到的可能次數.

那么對于沒有投到的面數 (k) ,我們有 (k/n) 的可能性繼續投到它們.
同樣,對于已經投到過的,我們有 (n-k/n) 的概率可繼續投到它們.
然后它們的貢獻即分別為 (f[k]) 和 (f[k-1]).

那么即得到轉移式:

[f[i]=i/n*f[i]+(n-i)/n*f[i+1]+1
]

從 (f[n]) 倒推即可,(f) 初始為 0.

4. P1365 WJMZBMR打osu! / Easy

題目鏈接

Solution

Wa,我是真的被期望折服了,感覺這道題拿來練手正好.
DP的難度可做又巧妙...

我們定義:
(f[i]) 代表到第 (i) 次點擊的時候的最大答案.
(g[i]) 代表到第 (i) 此點擊的 (o) 的期望長度.

然后看轉移:
1.此時為 (o) ,那么我可以直接計算答案。
由于 ((x+1)^2=x^2+2x+1) ,所以我們得到轉移方程:
$$f[i]=f[i-1]+2*g[i-1]+1$$
同時由于此時 (o) 的長度已經增加,所以同時 (g[i]=g[i-1]+1).

2.此時為 (x),同樣直接統計答案.
(f[i]=f[i-1]) , (g[i]=0).

3.此時為 (?) ,那么我們對于以上兩種情況都有 (0.5) 的概率.
然后直接轉移:
$$f[i]=0.5(f[i-1]+2g[i-1]+1+f[i-1])$$
$$g[i]=0.5*(g[i-1]+1+0)$$

然后最后面 (f[n]) 即為答案.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学期望笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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