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AC自动机学习笔记

發(fā)布時間：2023/12/24 windows 25 coder

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 AC自动机学习笔记小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

什么是自動機

一般指確定有限狀態(tài)自動機，所以AC自動機不是自動AC機

自動機是一個非常廣泛使用的數學模型

自動機是一個對信號序列進行判定的模型

解釋一下上面那句話

信號序列是指一串有順序的信號例如字符串的從前到后每一個字符

判定是指對某一個命題給出真或者假的判斷

對于自動機，一共存在3種信號序列
1. 不能識別
2. 判定結果為真
3. 判定結果為假
自動機的結構其實是一張有向圖

其中自動機每個節(jié)點都是一個判定節(jié)點，節(jié)點只是狀態(tài)而非任務，邊可以接受多種字符

下面的是一個判斷一個二進制數是不是偶數的自動機

從起始結點開始，從高位到低位接受這個數的二進制序列，看最終停在哪里。

若最終停在紅圈結點，則是偶數，否則則反之
自動機只是數學模型，不是算法，不是數據結構

因此用不同的實現方法可以得到不同的復雜度

形式化定義

一個$\text{DFA}$(確定有限狀態(tài)自動機,即自動機)由五部分組成

字符集$\sum$ :

本自動機只能輸入這些字符
狀態(tài)集合$Q$ :

如果把一個$\text{DFA}$看成有向圖則$\text{DFA}$中的狀態(tài)就相當于圖上的頂點
起始狀態(tài)$s$ :

對于$s\in Q$，$s$是一個特殊的狀態(tài)
接受狀態(tài)集合$F$ :

對于$F\subseteq Q$,$F$是一組特殊狀態(tài)
轉移函數$\delta$ :

$\delta$ 是一個接受兩個參數返回一個值的函數，其中第一個參數和返回值都是一個狀態(tài)而第二個參數是字符集$\sum$中的一個字符

把一個$\text{DFA}$看成一張有向圖，$\text{DFA}$中的$\delta$就相當于邊，每條邊上都有一個字符

$\text{DFA}$的作用是識別字符串，對于自動機 $\text A$ ，若它能識別字符串 $S$ ，那么 $A(S)=\mathrm{T}$ ，反之$A(S)=\mathrm{F}$ 。

當 $DFA$ 讀入一個字符串時，從初始狀態(tài)起按照轉移函數一個一個字符地轉移。

如果讀入完一個字符串的所有字符后位于一個接受狀態(tài)，那么稱 $DFA$ 接受這個字符串，反之稱 $DFA$ 不接受 這個字符串。

如狀態(tài) $v$ 沒有字符 $c$ 的轉移，則令 $\delta(v,c)=\mathrm{null}$ ，而 $\mathrm{null}$ 只能轉移到 $\mathrm{null}$ ，且 $\mathrm{null}$ 不屬于接受狀態(tài)集合。

無法轉移到接受狀態(tài)的狀態(tài)可以視作 $\mathrm{null}$ ，也可以說 $\mathrm{null}$ 代指所有無法轉移到接受狀態(tài)的狀態(tài)

我們擴展定義轉移函數 [\delta] ，令其第二個參數可以接收一個字符串： [\delta(v,s)=\delta(\delta(v,s[1]),s[2..|s|])] ，擴展后的轉移函數就可以表示從一個狀態(tài)起接收一個字符串后轉移到的狀態(tài)。那么， [A(s)=[\delta(start,s)\in F]] 。

下圖是一個接受且僅接受字符串 "$a$", "$ab$", "$aac$" 的 $\text{DFA}$：

$\text{AC}$自動機

AC自動機是以Trie為基礎結合KMP的思想建立的自動機

KMP算法是求單字符串對單字符串的匹配使用的,而AC自動機是求多個字符串在一個字符串上的匹配使用的

AC自動機的實現

AC自動機需要提前知道所有的需要匹配的字符串

第一步把需要匹配的字符串構建成一棵Trie樹
第二步對Trie樹上的所有節(jié)點構造失配指針

構建Trie樹

普通的Trie，該怎么建就怎么建

這里借用大佬的圖片

構建失配指針

$fail$指針在這里的作用是每次沿著Trie樹匹配，當前位置沒有匹配上時，直接跳轉到失配指針所指向的位置繼續(xù)進行匹配

在這里$fail$指針指向的是一個在$\text{Trie}$里存在的最長的與真后綴相同的字符串。

用OI-wiki的圖舉個例子

如 $she$，她的真后綴有 $he$，$e$ 和 $\varnothing$，其中 $he$ 和 $\varnothing$ 存在于 $\text{Trie}$ 樹中，則讓 $9$ 號節(jié)點的 $fail$ 指針指向最長的 $he$ 的末尾節(jié)點 $2$ 號節(jié)點

如 $her$，她的真后綴有 $er$，$r$ 和 $\varnothing$，只有 $\varnothing$ 存在于 Trie 樹中，則讓 $3$ 號節(jié)點的 $fail$ 指針指向根節(jié)點 $0$

如何求出失配指針

當前節(jié)點 $p$ 代表的字符是 $c$，$p$ 的 $fail$ 指針應指向 $p$ 的父親的 $fail$ 指針的代表 $c$ 的兒子

如圖，$9$ 代表的字符是 $e$，$9$ 的父親是 $8$，$8$ 的 $fail$ 指針指向 $1$，$1$ 的代表 $e$ 的兒子是 $2$，因此 $9$ 的 $fail$ 指針指向 $2$ 號節(jié)點。

如果$p$不存在代表$c$的兒子則讓$c$的$fail$指針指向$p$的$fail$指針指向的節(jié)點$p'$的代表$c$的兒子

如OI-wiki上的圖

這里是OI-wiki上的完整動圖

藍色結點：BFS 遍歷到的結點 u
藍色的邊：當前結點下，AC 自動機修改字典樹結構連出的邊。
黑色的邊：AC 自動機修改字典樹結構連出的邊。
紅色的邊：當前結點求出的 fail 指針
黃色的邊：fail 指針
灰色的邊：字典樹的邊

我們可以以此來寫出代碼

$My\ Code$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
    inline void close(){std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);std::cout.tie(0);}
    inline void Fire(){freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);}
    inline int read(){int s = 0,w = 1;char ch = getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch == '-') w = -1;ch = getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){ s = s*10+ch-'0';ch = getchar();}return s*w;}
    inline void write(int x){char F[200];int tmp=x>0?x:-x,cnt=0;;if(x<0)putchar('-') ;while(tmp>0){F[cnt++]=tmp%10+'0';tmp/=10;}if(cnt==0)putchar('0');while(cnt>0)putchar(F[--cnt]);putchar(' ');}
}
using namespace IO;
class AC{
public:
    class Trie{
    public:
        int fail,vis[26],end; 
    }Tr[1000000];
    int cnt; 
    inline void clear(){
        memset(Tr,0,sizeof(Tr));
    }
    inline void ins(string s){
        int l=s.length(),q=0;
        for(int i=0;i<l;++i){
            if(!Tr[q].vis[s[i]-'a']) Tr[q].vis[s[i]-'a']=++cnt;
            q=Tr[q].vis[s[i]-'a']; 
        }
        Tr[q].end+=1;
    }
    inline void Get(){
        queue<int>Q; 
        for(int i=0;i<26;++i){
            if(Tr[0].vis[i]!=0){
                Tr[Tr[0].vis[i]].fail=0;
                Q.push(Tr[0].vis[i]);
            }
        }
        while(!Q.empty()){
            int u=Q.front();
            Q.pop();
            for(int i=0;i<26;++i){
                if(Tr[u].vis[i]!=0){
                    Tr[Tr[u].vis[i]].fail=Tr[Tr[u].fail].vis[i];
                    Q.push(Tr[u].vis[i]);
                }
                else
                    Tr[u].vis[i]=Tr[Tr[u].fail].vis[i];
            }
        }
    }
    inline int Ask(string s){
        int l=s.length(),q=0,ans=0;
        for(int i=0;i<l;++i){
            q=Tr[q].vis[s[i]-'a'];
            for(int t=q;t&&Tr[t].end!=-1;t=Tr[t].fail){
                ans+=Tr[t].end;
                Tr[t].end=-1;
            } 
        }
        return ans;
    }
}AC;
signed main(){
    // freopen("1.in","r",stdin);
    // freopen("1.out","w",stdout);
    string s;
    int m=read();
    while(m--){
        int n=read();
        AC.clear();
        for(int i=1;i<=n;++i){
            cin>>s;
            AC.ins(s);
        }
        AC.Get();cin>>s;
        write(AC.Ask(s));
        puts("");
    }
}

洛谷的完整題面

【模板】AC 自動機（簡單版）

題目描述

給定 $n$ 個模式串 $s_i$ 和一個文本串 $t$，求有多少個不同的模式串在文本串里出現過。
兩個模式串不同當且僅當他們編號不同。

輸入格式

第一行是一個整數，表示模式串的個數 $n$。
第 $2$ 到第 $(n + 1)$ 行，每行一個字符串，第 $(i + 1)$ 行的字符串表示編號為 $i$ 的模式串 $s_i$。
最后一行是一個字符串，表示文本串 $t$。

輸出格式

輸出一行一個整數表示答案。

樣例 #1

樣例輸入 #1

3
a
aa
aa
aaa

樣例輸出 #1

樣例 #2

樣例輸入 #2

4
a
ab
ac
abc
abcd

樣例輸出 #2

樣例 #3

樣例輸入 #3

2
a
aa
aa

樣例輸出 #3

提示

樣例 1 解釋

$s_2$ 與 $s_3$ 編號（下標）不同，因此各自對答案產生了一次貢獻。

樣例 2 解釋

$s_1$，$s_2$，$s_4$ 都在串 abcd 里出現過。

數據規(guī)模與約定

對于 $50\%$ 的數據，保證 $n = 1$。
對于 $100\%$ 的數據，保證 $1 \leq n \leq 10^6$，$1 \leq |t| \leq 10^6$，$1 \leq \sum\limits_{i = 1}^n |s_i| \leq 10^6$。$s_i, t$ 中僅包含小寫字母。

例題

Keywords Search

AC自動機板子題，注意每組數據都需要對AC自動機進行$clear$操作

點擊查看代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
    inline void close(){std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);std::cout.tie(0);}
    inline void Fire(){freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);}
    inline int read(){int s = 0,w = 1;char ch = getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch == '-') w = -1;ch = getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){ s = s*10+ch-'0';ch = getchar();}return s*w;}
    inline void write(int x){char F[200];int tmp=x>0?x:-x,cnt=0;;if(x<0)putchar('-') ;while(tmp>0){F[cnt++]=tmp%10+'0';tmp/=10;}if(cnt==0)putchar('0');while(cnt>0)putchar(F[--cnt]);putchar(' ');}
}
using namespace IO;
class AC{
public:
    class Trie{
    public:
        int fail,vis[26],end; 
    }Tr[1000000];
    int cnt; 
    inline void clear(){
        memset(Tr,0,sizeof(Tr));
    }
    inline void ins(string s){
        int l=s.length(),q=0;
        for(int i=0;i<l;++i){
            if(!Tr[q].vis[s[i]-'a']) Tr[q].vis[s[i]-'a']=++cnt;
            q=Tr[q].vis[s[i]-'a']; 
        }
        Tr[q].end+=1;
    }
    inline void Get(){
        queue<int>Q; 
        for(int i=0;i<26;++i){
            if(Tr[0].vis[i]!=0){
                Tr[Tr[0].vis[i]].fail=0;
                Q.push(Tr[0].vis[i]);
            }
        }
        while(!Q.empty()){
            int u=Q.front();
            Q.pop();
            for(int i=0;i<26;++i){
                if(Tr[u].vis[i]!=0){
                    Tr[Tr[u].vis[i]].fail=Tr[Tr[u].fail].vis[i];
                    Q.push(Tr[u].vis[i]);
                }
                else
                    Tr[u].vis[i]=Tr[Tr[u].fail].vis[i];
            }
        }
    }
    inline int Ask(string s){
        int l=s.length(),q=0,ans=0;
        for(int i=0;i<l;++i){
            q=Tr[q].vis[s[i]-'a'];
            for(int t=q;t&&Tr[t].end!=-1;t=Tr[t].fail){
                ans+=Tr[t].end;
                Tr[t].end=-1;
            } 
        }
        return ans;
    }
}AC;
signed main(){
    // freopen("1.in","r",stdin);
    // freopen("1.out","w",stdout);
    string s;
    int m=read();
    while(m--){
        int n=read();
        AC.clear();
        for(int i=1;i<=n;++i){
            cin>>s;
            AC.ins(s);
        }
        AC.Get();cin>>s;
        write(AC.Ask(s));
        puts("");
    }
}

下面是花絮

總結

以上是生活随笔為你收集整理的AC自动机学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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