題目：令 ，其中 是具有PDF為? 的隨機變量，如果 是一個確定性的參數，根據 求 的PDF，并且用 表示。其次，假定 是一個與 獨立的隨機變量，求條件PDF? 。最后，不假定 和 是獨立的，求 。讀者應該如何解釋 和 。

---

解答

盡管題目都用 這個表達式，但是三個問題的區別：

第一個問題： 不是隨機變量而是確定值， 概率密度已知，求 的概率密度

第二個問題： 和 都是隨機變量，但是 和 相互獨立，求 的概率密度

第三個問題： 和 都是隨機變量，但是 和 相互不獨立，求 的概率密度

---

第一個問題求解：

此問題本質上是概率密度函數變換問題，具體可以參考：

概率論中密度函數變換_bingfeiqiji的博客-CSDN博客_概率密度變換公式

隨機變量 具有分布函數：

那么 的概率密度函數為：

另外，考慮隨機變量 的分布函數：

因此， 的概率密度函數為：

根據題意 的PDF，可以表示為：

---

第二個問題求解：

第二和第三個問題，都需先補充一下條件概率密度的性質：

• 邊緣概率分布及邊緣概率密度：

如果存在二維隨機變量X和Y，及二維分布函數 ，那么隨機變量X和Y各自的分布函數可以表示為：

即：

那么對應的概率密度可以表示為：

上述分別可以稱為二維隨機變量的邊緣概率分布函數及邊緣概率密度函數

• ?條件概率分布及條件概率密度：

當二維隨機變量中， 時的條件概率分布，即 發生的情況下 的分布為：

對應的概率密度可以證明為：

即：

上式也被稱為：當 情況下 的概率密度函數。

進一步，如果 和 相互獨立，那么存在：

也就是：

上式性質可以進一步參考：

概率論知識回顧（十一）：邊緣密度函數，條件密度函數及其獨立性_MengFly的博客-CSDN博客_邊緣密度函數

概率論與數理統計(3.2)邊緣分布_weirdo_cy的博客-CSDN博客_邊緣分布律怎么求

回到題目，如果記 表示為包含二維隨機變量 和 的聯合概率密度,那么聯合概率分布可以表示為：

那么對應的概率密度函數為：

?考慮二維隨機變量 和 的聯合概率分布

那么對應的概率密度函數為：

因此，在 和 獨立分布的情況下，存在：

因此可以得到結論：當 和 是獨立的隨機變量時， ?

---

第三個問題求解：

由于聯合概率密度可以表示為：

因此：

因此，此時當 和 不是獨立的隨機變量時，??????? ??????? ???????

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的统计信号处理基础 习题解答1-3的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。