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循环神经网络

数值代数课设(99分)--基于Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代对泊松方程的求解[matlab](上)

發布時間：2023/12/20 循环神经网络 44 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了数值代数课设(99分)--基于Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代对泊松方程的求解[matlab](上) 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

基于Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代對泊松方程的求解

摘要

隨著大數據時代的到來，人們需要處理的數據越來越多，所需要考慮的條件因素也在增加。在工程方面，人們所需要處理的問題往往會轉化為找出大規模方程組的解的問題，而找出大規模方程組的解的計算復雜度非常的高，因此設計一些高效并且較為精準的算法來求解大規模方程組的近似解顯的尤為重要。本文以著一維和二維泊松方程為例子，考慮了Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代這三種經典迭代對于求解一維和二維泊松方程的速度與準度，用matlab 寫出了相關代碼，并且進行了對比與分析，最后得出了如下結論：SOR迭代的求解一維和二維泊松方程的速度最快，GS迭代次之，Jacobi迭代最慢，但是SOR迭代的速度依賴于松弛變量ω，并且當ω=1時，SOR迭代的速度與GS迭代的速度相同（在理論上可以證明）。當然，本文也考慮了不同松弛變量ω對于SOR迭代的速度的影響，發現，松弛變量ω在區間[1.2,1.6]之間時，SOR迭代的速度達到最快。

關鍵詞：Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代，泊松方程，matlab
Based on Jacobi iteration, GS iteration and SOR iteration to solve Poisson equation
Abstract
With the advent of the era of big data, people need to deal with more and more data, and the factors that need to be considered are also increasing. In engineering, the problem that people need to deal with is often transformed into the problem of finding the solution of large-scale equations, and the computational complexity of finding the solution of large-scale equations is very high, so it is particularly important to design some efficient and more accurate algorithms to solve the approximate solution of large-scale equations. In this paper, taking the one-dimensional and two-dimensional Poisson equation as an example, three classical iterations, Jacobi iteration, GS iteration and SOR iteration, are considered to compare and analyze the speed and accuracy of solving the one-dimensional and two-dimensional Poisson equation. At last, the following conclusions are drawn: the speed of solving one-dimensional and two-dimensional Poisson equation by sor iteration is the fastest, GS iteration is the second, Jacobi iteration is the slowest, but the speed of solving one-dimensional and two-dimensional Poisson equation by sor iteration is the fastest The speed depends on the relaxation variable ω, and when ω = 1, the speed of SOR iteration is the same as that of GS iteration (which can be proved theoretically). Of course, this paper also considers the influence of different relaxation variables ω on the speed of SOR iteration. It is found that when the relaxation variables ω are between intervals [1.2,1.6], the speed of SOR iteration is the fastest.

Keywords: Jacobi iteration, GS iteration, SOR iteration, Poisson equation，matlab

一、問題簡介
考慮泊松方程（一維和二維）。比較Jacobi迭代，G-S迭代和SOR迭代求解離散Poisson方程的效率，在離散化中使用中心差分近似。
問題背景:泊松方程是數學中一個常見于靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程，尤其是在靜電學中，在這里很容易遇到泊松方程。
二、使用方法及其分析
2.1.理論方法
2.1.1總體思路
我們先將泊松方程的系數矩陣進行一個分裂：

我們可以先用M來近似代替A，則我們考慮方程：

三、測試例子和結果
3.1.一維泊松方程
3.1.1.三種迭代第一種方式（（1）式）對比
在本次測試中，我們選取不同的分割細度n,初值條件，測試了Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代這三種迭代方式對于求解一維泊松方程達到相同精度時，比較他們所需時間，迭代步數，誤差大小等信息。
1.Jacobi迭代

維數n

初值 x=0時的初值條件U(0)=1
x=1時的初值條件U(1)=1 x=0時的初值條件U(0)=1
x=1時的初值條件U(1)=0 x=0時的初值條件U(0)=0
x=1時的初值條件U(1)=1
n=5 迭代步數為:80
cpu時間為:0.000960 迭代步數為:77
cpu時間為:0.000940 迭代步數為:77
cpu時間為:0.000940
n=10 迭代步數為:252
cpu時間為:0.002321 迭代步數為:244
cpu時間為:0.002694 迭代步數為:244
cpu時間為:0.002686
n=15 迭代步數為:519
cpu時間為:0.005216 迭代步數為:491
cpu時間為:0.006030 迭代步數為:491
cpu時間為:0.004651

2.GS迭代

維數n

初值 x=0時的初值條件U(0)=1
x=1時的初值條件U(1)=1 x=0時的初值條件U(0)=1
x=1時的初值條件U(1)=0 x=0時的初值條件U(0)=0
x=1時的初值條件U(1)=1
n=5 迭代步數為:41
cpu時間為:0.000676 迭代步數為:38
cpu時間為:0.000588 迭代步數為:40
cpu時間為:0.000599
n=10 迭代步數為:127
cpu時間為:0.001700 迭代步數為:120
cpu時間為:0.001239 迭代步數為:123
cpu時間為:0.001189
n=15 迭代步數為:255
cpu時間為:0.003256 迭代步數為:241
cpu時間為:0.003108 迭代步數為:245
cpu時間為:0.002490

3.SOR迭代

維數n

初值 x=0時的初值條件U(0)=1
x=1時的初值條件U(1)=1 x=0時的初值條件U(0)=1
x=1時的初值條件U(1)=0 x=0時的初值條件U(0)=0
x=1時的初值條件U(1)=1
n=5 迭代步數為:25
cpu時間為:0.000519 迭代步數為:24
cpu時間為:0.000425 迭代步數為:25
cpu時間為:0.000416
n=10 迭代步數為:84
cpu時間為:0.001036 迭代步數為:79
cpu時間為:0.001074 迭代步數為:81
cpu時間為:0.001145
n=15 迭代步數為:169
cpu時間為:0.002122 迭代步數為:159
cpu時間為:0.001940 迭代步數為:163
cpu時間為:0.002270

誤差向量范數圖片（n=5，x=0時的初值條件U(0)=1，x=1時的初值條件U(1)=1）：

分析：
1.通過對比在不同維數，不同初值下Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代這三種迭代方式對于求解一維泊松方程達到相同精度時，他們所需cpu時間，迭代步數，我們可以看出SOR迭代比較好，因為他的迭代步數少，cpu時間短，而Jacobi迭代比較差，因為他的迭代步數多，cpu時間長。
2.通過橫向和縱向比較，我們發現，初值對cpu時間，迭代步數影響不大，但是，維數對cpu時間，迭代步數影響較大

3.1.2.三種迭代第二種方式（（2）式）對比
在本次測試中，我們選取不同的分割細度n,初值條件，測試了Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代這三種迭代方式對于求解一維泊松方程達到相同精度時，比較他們所需時間，迭代步數，誤差大小等信息。
1.Jacobi1迭代

維數n

初值 x=0時的初值條件U(0)=1
x=1時的初值條件U(1)=1 x=0時的初值條件U(0)=1
x=1時的初值條件U(1)=0 x=0時的初值條件U(0)=0
x=1時的初值條件U(1)=1
n=5 迭代步數為:81
cpu時間為:0.000876 迭代步數為:78
cpu時間為:0.001069 迭代步數為:78
cpu時間為:0.000997
n=10 迭代步數為:253
cpu時間為:0.003969 迭代步數為:245
cpu時間為:0.003152 迭代步數為:245
cpu時間為:0.003506
n=15 迭代步數為:520
cpu時間為:0.007711 迭代步數為:492
cpu時間為:0.008893 迭代步數為:492
cpu時間為:0.007350

2.GS1迭代

維數n

初值 x=0時的初值條件U(0)=1
x=1時的初值條件U(1)=1 x=0時的初值條件U(0)=1
x=1時的初值條件U(1)=0 x=0時的初值條件U(0)=0
x=1時的初值條件U(1)=1
n=5 迭代步數為:42
cpu時間為:0.000636 迭代步數為:39
cpu時間為:0.000635 迭代步數為:41
cpu時間為:0.000667
n=10 迭代步數為:128
cpu時間為:0.002025 迭代步數為:121
cpu時間為:0.002108 迭代步數為:124
cpu時間為:0.001451
n=15 迭代步數為:256
cpu時間為:0.003981 迭代步數為:242
cpu時間為:0.004628 迭代步數為:246
cpu時間為:0.004564

3.SOR1迭代

維數n

初值 x=0時的初值條件U(0)=1
x=1時的初值條件U(1)=1 x=0時的初值條件U(0)=1
x=1時的初值條件U(1)=0 x=0時的初值條件U(0)=0
x=1時的初值條件U(1)=1
n=5 迭代步數為:26
cpu時間為:0.000418 迭代步數為:25
cpu時間為:0.000430 迭代步數為:26
cpu時間為:0.000436
n=10 迭代步數為:85
cpu時間為:0.001150 迭代步數為:80
cpu時間為:0.001195 迭代步數為:82
cpu時間為:0.001119
n=15 迭代步數為:170
cpu時間為:0.003529 迭代步數為:160
cpu時間為:0.003593 迭代步數為:164
cpu時間為:0.003454

3.1.3.Jacobi迭代兩種實現方式對比
在本次測試中，我們選取不同的分割細度n,初值條件，測試了Jacobi迭代，兩種不同方式對于求解一維泊松方程達到相同精度時，比較他們所需時間，迭代步數，誤差大小等信息。
1.Jacobi迭代

維數n

2.Jacobi1迭代

維數n

誤差向量范數圖片（n=5，x=0時的初值條件U(0)=1，x=1時的初值條件U(1)=1）：

分析
1.通過比較兩種jacobi迭代的cpu時間和迭代次數，我們發現，在維數較小的情況下，兩種迭代方法的效率差不多，但是隨著n的變大，我們發現，第一種jacobi迭代cpu時間都明顯小于第二種迭代的cpu時間.
2.通過橫向和縱向比較，我們發現，初值對cpu時間，迭代步數影響不大，但是，維數對cpu時間，迭代步數影響較大

3.1.4.GS迭代兩種實現方式對比
在本次測試中，我們選取不同的分割細度n,初值條件，測試了GS迭代，兩種不同方式對于求解一維泊松方程達到相同精度時，比較他們所需時間，迭代步數，誤差大小等信息。
1.GS迭代

維數n

2.GS1迭代

維數n

誤差向量范數圖片（n=5，x=0時的初值條件U(0)=1，x=1時的初值條件U(1)=1）：

分析：
1.通過比較兩種GS迭代的cpu時間和迭代次數，我們發現，在維數較小的情況下，兩種迭代方法的效率差不多，但是隨著n的變大，我們發現，第一種GS迭代cpu時間都明顯小于第二種迭代的cpu時間.
2.通過橫向和縱向比較，我們發現，初值對cpu時間，迭代步數影響不大，但是，維數對cpu時間，迭代步數影響較大

3.1.5.SOR迭代兩種實現方式對比
在本次測試中，我們選取不同的分割細度n,初值條件，測試了GS迭代，兩種不同方式對于求解一維泊松方程達到相同精度時，比較他們所需時間，迭代步數，誤差大小等信息。
1.SOR迭代

維數n

2.SOR1迭代

維數n

誤差向量范數圖片（n=5，x=0時的初值條件U(0)=1，x=1時的初值條件U(1)=1）：

分析：
1.通過比較兩種SOR迭代的cpu時間和迭代次數，我們發現，在維數較小的情況下，兩種迭代方法的效率差不多，但是隨著n的變大，我們發現，第一種SOR迭代cpu時間都明顯小于第二種迭代的cpu時間.
2.通過橫向和縱向比較，我們發現，初值對cpu時間，迭代步數影響不大，但是，維數對cpu時間，迭代步數影響較大

3.1.6.SOR迭代中ω的值對迭代的影響
在本次測試中，我們選取n=5,初值條件U(0)=1,U(1)=1,b=zeros(n,1)，f(x)=x^2+x+1+exp(x)，測試了SOR迭代，在ω取不同值的時候，對于求解一維泊松方程在達到相同精度時，比較他們所需時間，迭代步數，誤差大小等信息。

松弛變量ω的取值迭代步數，cpu時間
w=0.100000 迭代步數為:800，cpu時間為:0.005910
w=0.200000 迭代步數為:379，cpu時間為:0.004643
w=0300000 迭代步數為:239，cpu時間為:0.003080
w=0.400000 迭代步數為:168，cpu時間為:0.001416
w=0.500000 迭代步數為:126，cpu時間為:0.001711
w=0.600000 迭代步數為:98，cpu時間為:0.001366
w=0.700000 迭代步數為:78，cpu時間為:0.001172
w=0800000 迭代步數為:62，cpu時間為:0.000790
w=0.900000 迭代步數為:50，cpu時間為:0.000786
w=1.000000 迭代步數為:41，cpu時間為:0.000688
w=1.100000 迭代步數為:32，cpu時間為:0.000542
w=1.200000 迭代步數為:25，cpu時間為:0.000287
w=1.300000 迭代步數為:18，cpu時間為:0.000249
w=1.400000 迭代步數為:15，cpu時間為:0.000367
w=1.500000 迭代步數為:19，cpu時間為:0.000231
w=1.600000 迭代步數為:25，cpu時間為:0.000297
w=1.700000 迭代步數為:35，cpu時間為:0.000540
w=1.800000 迭代步數為:57，cpu時間為:0.000533
w=1.900000 迭代步數為:119，cpu時間為:0.001056

圖片較多，就放了四張:
ω=0.2 ω=0.7
:

我們擬合了一下w和迭代次數的關系
w和迭代次數的關系: -907.2834 w^5 + 5397.1052 w^4 - 12047.5579 w^3 + 12601.6016 w^2- 6265.6695 w + 1277.8504

分析：圖中可以看出當松弛變量ω在[1.2,1.6]之間時，此時SOR迭代次數少，而且所需時間短。
3.2.二維泊松方程
3.2.1.三種迭代第一種方式（（1）式）對比
在本次測試中，我們選取不同的分割細度n,初值條件，測試了Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代這三種迭代方式對于求解一維泊松方程達到相同精度時，比較他們所需時間，迭代步數，誤差大小等信息。
1.Jacobi迭代

維數n