目錄

• 二項分布
• • 性質
• 負二項分布
• • 性質
• 示例
• • scipy 實現及可視化
  • 期望與方差

二項分布容易理解，負二項分布的描述不同模型稍有區別，記錄一下。

二項分布

離散分布的一種，固定次數的獨立試驗時使用，每一次試驗結果分為成功和失敗兩類，關心的是成功或失敗的次數。

二項分布概率密度為：

$$P(X=k)=C_n^k{p}^k{q}^{n?k}$$

其中：

• p為單次試驗成功的概率，q為失敗的概率；
• n為試驗次數；
• k表示成功k次，
  $C_n^k=\frac{n!}{k!(n?k)!}$。

性質

期望：$E(x)=np$

方差：$Var(x)=npq$

負二項分布

負二項分布有不同的描述，核心是放回抽取或者擲色子試驗中，固定 成功(失敗）的次數，描述 抽取/投擲 失敗 (成功) 的次數概率分布。

scipy.stats描述的模型：
nbinom takes n and p as shape parameters where n is the number of successes, p is the probability of a single success, and (1-p) is the probability of a single failure.

負二項分布將n和p作為形狀參數，其中n是成功的次數，p 是單個成功的概率，1-p 是單個失敗的概率。

scipy中：
抽取試驗，單次成功的概率為$p$,直到抽取$n$次成功結束，這種情況下，失敗次數$k$符合負二項分布，其概率密度為：

$P(X=k)=C_{n+k?1}^{n?1}{p}^n(1?p{)}^k$

陳希孺老師教材中：
抽取試驗，單次成功的概率為$p$,抽取試驗直到抽取$k$次失敗結束，這種情況下，成功次數$n$符合負二項分布，

$P(X=n)=C_{n+k?1}^{k?1}{p}^n(1?p{)}^k$

性質

以scipy.stats模型為例,
期望：$E(X)=\frac{n}{p}?n=\frac{n(1?p)}{p}$
方差：$Var(X)=\frac{n(1?p)}{p^2}$

示例

擲色子，擲出1點為勝利：

• 構造投擲18次篩子，投出1點的次數符合二項分布；
• 現在考慮擲出3次勝利，問需要擲出多少次色子，比如結果是擲出了 k+3次色子，則k的分布符合 負二項分布

scipy 實現及可視化

import numpy as np import scipy.stats as stats import matplotlib.pyplot as plt plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 用來正常顯示中文標簽 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 用來正常顯示負號fig, axs = plt.subplots(1,2,figsize=(10,4),dpi=100) fig.subplots_adjust(wspace=0.3) # 單次試驗成功率 p = 1./6 # 二項分布考慮擲色子18次，成功次數符合二項分布 N = 18 # 負二項分布考慮擲出成功n次，失敗次數符合二項分布 n = 3 # 二項分布B(N,p) P_B= stats.binom(N,p) ## 成功次數0~18的概率分布 x=np.arange(N) PF_B = P_B.pmf(x)# 負二項分布NB(n,p) P_NB = stats.nbinom(n,p) # 成功3次，失敗次數 k 的概率分布 k=np.arange(N) PF_NB = P_NB.pmf(k)axs[0].stem(x, PF_B, 'bo', label='固定總次數，成功次數: 二項分布') axs[0].set_xticks(range(0,20,1)); axs[0].legend(loc='upper left') axs[0].set_ylim(0,0.3)ax2=axs[0].twinx() ax2.plot(x,P_B.cdf(x),'r',label='累積概率') ax2.legend(loc='center right') ax2.grid() ax2.set_ylim(0,1.2)axs[1].stem(k, PF_NB, 'bo', label='固定成功次數,失敗次數: 負二項分布') axs[1].set_ylim(0,0.06) axs[1].set_xticks(range(0,20,1)); axs[1].legend(loc='upper left') ax2=axs[1].twinx() ax2.plot(x,P_NB.cdf(x),'r',label='累積概率') ax2.legend(loc=[0.02,0.8]) ax2.grid()

期望與方差

期望

print(f'二項分布的期望: {stats.binom(18,1./6).expect():.1f}, \n負二項分布的期望{stats.nbinom(3,1./6).expect():.1f}')

輸出為

二項分布的期望: 3.0,
負二項分布的期望15.0

驗算：
二項分布 binom(18,1./6) 的期望 $E(X)=np=18?1/6=3$
負二項分布**nbinom(3,1./6)**的期望 $E(X)=\frac{n}{p}?n=3?6?3=15$ ，
方差

print(f'二項分布的方差: {stats.binom(18,1./6).var():.1f}, \n負二項分布的方差{stats.nbinom(3,1./6).var():.1f}')

二項分布**binom(18,1./6)的方差: 2.5,
負二項分布nbinom(3,1./6)**的方差90.0

驗算
二項分布 binom(18,1./6) 的方差$E(X)=npq=18?1/6?5/6=2.5$
負二項分布**nbinom(3,1./6)**的方差$E(X)=\frac{n(1?p)}{p^2}=3?5/6?6?6=90$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的二项分布与负二项分布卡片的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。