二項分布

二項分布(binomial distribution)就是在重復n次獨立的伯努利試驗(Bernoulli experiment)中，所期望結果出現次數的概率分布。

伯努利試驗的特點：

每次試驗中只有兩種可能的結果，而且兩種結果發生與否互相對立，并且相互獨立

每次試驗中事件發生的概率是相同的

各次試驗的事件相互之間獨立

重復n次獨立的伯努利試驗形成二項分布（高爾頓板）

高爾頓板丨圖片來源：維基百科

從最上方的節點往下，是幾排交錯排列的釘子。從入口扔下的小球撞上一個釘子，就像觸網的乒乓球一樣，彈向左邊和右邊的概率相等。最上方只有一種可能。下降之后，左右兩邊比例變成1:1，繼續這個步驟，第n行的比例系數其實就是n次二項式的展開系數，或者表現為楊輝三角的第n行數值。

一般地，如果隨機變量服從參數為和的二項分布，記為或。次試驗中正好得到次成功的概率由概率質量函數給出

式中，，是二項式系數。不同參數下的二項分布概率分布：

如果，那么隨機變量的期望為

隨機變量的方差為

二項分布的近似

當時，二項分布的概率質量函數是對稱的。當時，二項分布的概率質量函數呈現偏態，且與的偏斜方向相反。如果很大，即使，偏態逐漸降低，最終成正態分布。

?二項分布逼近正態分布的過程丨圖片來源：維基百科

1. 近似為泊松分布

如果存在有限極限，則該二項分布就趨于參數為的泊松分布

實際運用中，如果很大，但比較小（比起來說很小），通常就滿足要求。一般來說，n的值越大，p的值越小，近似就越準確。因為在這種情況下，(1-p)將接近1，因此將接近分布的均值，即。這滿足了泊松分布模型中均值和方差接近的條件。那么用泊松分布近似二項分布更簡單些，畢竟泊松分布跟二項分布一樣都是離散型分布。

2. 近似為高斯分布

如果趨于無限大（如是一個定值），則根據德莫佛-拉普拉斯(De'Moivre-Laplace)中心極限定理，這列二項分布將趨近于高斯分布（正態分布）

式中，，。

實際運用中，要求且時，一般都用高斯分布來近似計算二項分布。

總結

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