0、前言

所謂四元數（Quaternion），一句話說就是復數的拓展，那么四元數只是簡單的維度增加的復數嗎？它代表了什么樣的物理意義和數學道理呢？

1、四元數的定義

四元數是復數的拓展。我們知道一個復數是：

如果我們將復數的實部和虛部同樣表示成復數，且這兩個新的復數采用新的復數單位，即：

再規定新加上新的復數單位后的復數單位之間的運算：

那么新的表示為：

那么這個由三個復數單位表示的“超復數 (Hyper-complex)”，就叫做四元數，用Q表示，我們整理一下表示方法，也可寫作：

值得一提的是，如果我們繼續將四元數的實部和虛部的所有指數寫成復數并加入更多的復數單位，我們可以得到7個復數單位的八維復數，稱為八元數(Octonion)或雙四元數(Bi-quaternion)。以此類推還有16元數、32元數等等。

2、四元數的運算法則

2.1 四元數的復數單位：

四元數的三個復數單位的運算法則如下：

2.2 四元數的模值：

2.3 四元數乘法：

3、四元數的物理意義?

3.1 旋轉的自由度

我們知道，我們如果把復數看成一個二維矢量，對復數乘上一個復數，就相當于對其進行旋轉和拉伸，而乘以單位復數相當于二維旋轉。

復數有兩個自由度，就是它的實部和虛部，如果用極坐標表示：

那么它的自由度就是它的模長（1個自由度）和旋轉（1個自由度）。

所以復數乘法，相當于對二維空間的向量進行旋轉+拉伸。

而四元數也是相同的道理。

先給出結論，四元數乘法，相當于對三維空間的向量進行旋轉+拉伸。

上面說到，不管模長，復數旋轉是一個自由度。

那么我們看四元數，毫無疑問它的自由度是4，減去模長的一個自由度，那么可知四元數的旋轉是三個自由度。

那如何理解四元數的旋轉（三維旋轉）是三個自由度?

3.2 復數旋轉/二維旋轉

還是先從復數說起。其實旋轉存在一個旋轉軸，假設旋轉前的向量為，旋轉后的向量為，旋轉軸為，垂直于和同在的平面，向量繞旋轉軸旋轉。

二維空間中，?對于任意的和，它們同在的平面始終是xy平面，因此所有二維旋轉的旋轉軸都是相同的，都是垂直于xy平面的，唯一的自由度就是旋轉的角度。

3.3 四元數旋轉/三維旋轉

三維空間中，對于任意的??和?，它們同在的平面不一定相同，因此旋轉的旋轉軸是在變化的。

所以為了描述三維旋轉，在確定旋轉角度的同時，也要確定旋轉軸。

三維空間的旋轉軸，也就是三維向量的方向，其自由度為2，所以有：

旋轉軸自由度+旋轉角度自由度=2+1=3，這與我們先前的結論相同。

實際上，四元數也可以用極坐標的形式表示，即：

?具體推導涉及四元數的歐拉公式，這里不贅述。

下圖給出了三維旋轉的示例，其中h和h'是旋轉前和旋轉后的向量，ψ是旋轉角度。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的四元数：从复数到四元数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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