證明：設(shè){}是中的柯西點(diǎn)列，其中={}

由柯西列的定義：對(duì)，正整數(shù)N，當(dāng)n，m>N時(shí)，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因此，對(duì)每一個(gè)固定的j，當(dāng)n,m > N時(shí)，成立

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 這就是說(shuō)，數(shù)列是柯西點(diǎn)列（注意此處是指是R中的Cauchy列），因此，

由R的完備性：? ??數(shù)，使得

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令，下面證明，且

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??(注：若對(duì)，正整數(shù)N，當(dāng)n，m>N時(shí)，?)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??在（2）式中，令，可以得到：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 對(duì)一切m > N，成立 ?（因?yàn)橛辛藰O限才可以取極限）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又??，因此實(shí)數(shù)，使得對(duì)于所有j，成立

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因此，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 這就證明了(有界)，由（3）式，可知對(duì)一切的m > N，成立：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? 因此是完備度量空間，證畢。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的泛函分析基础-如何证明l^∞是完备的度量空间的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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