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題意

給你一個 $ n*n $ 的正實數矩陣 $ A $ ，滿足XWW性。

稱一個 $ n*n $ 的矩陣滿足XWW性當且僅當：

• $ A[n][n] = 0 $
• 矩陣中每行的最后一個元素等于該行前 $ n-1 $ 個數的和（除最后一行）
• 矩陣中每列的最后一個元素等于該列前 $ n-1 $ 個數的和（除最后一列）

現在你要給 $ A $ 中的數進行取整操作（可以是上取整或者下取整），使得最后的 $ A $ 矩陣仍然滿足XWW性。

問你 $ A $ 中元素之和最大為多少。如果無解，輸出"No"。

題解

考慮將每一行和每一列看做一個點。

首先從源點向每一行 $ R(i) $ 連一條上下界分別為 $ (\lfloor A[i][n] \rfloor, \lceil A[i][n] \rceil) $ 的邊，從每一列 $ C(i) $ 向匯點連一條上下界分別為 $ (\lfloor A[n][i] \rfloor, \lceil A[n][i] \rceil) $ 的邊。

然后對于每一個 $ A[i][j] $ 來說，連一條從 $ R(i) $ 到 $ C(i) $ 的上下界為 $ (\lfloor A[i][j] \rfloor, \lceil A[i][j] \rceil) $ 邊。

這樣就保證了最大流一定滿足了后兩個條件。

然后跑有上下界的有源匯最大流就好。

AC Code

#include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <math.h> #include <vector> #include <queue> #define MAX_N 205 #define INF 1000000000 #define r(x) (x) #define c(x) (n-1+(x))using namespace std;struct Edge {int dst,cap,rev;Edge(int _dst,int _cap,int _rev) { dst=_dst,cap=_cap,rev=_rev; }Edge(){} };int n,s,t,S,T,tot,dif=0; int a[MAX_N]; int it[MAX_N]; int lv[MAX_N]; double w[MAX_N][MAX_N]; vector<Edge> edge[MAX_N]; queue<int> q;void read() {scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){scanf("%lf",&w[i][j]);}} }inline void add(int s,int t,int c) {edge[s].push_back(Edge(t,c,edge[t].size()));edge[t].push_back(Edge(s,0,edge[s].size()-1)); }void build() {s=(n<<1)-1,t=s+1,S=t+1,T=S+1,tot=T;for(int i=1;i<n;i++){add(s,r(i),ceil(w[i][n])-floor(w[i][n]));add(c(i),t,ceil(w[n][i])-floor(w[n][i]));a[s]-=floor(w[i][n]),a[r(i)]+=floor(w[i][n]);a[c(i)]-=floor(w[n][i]),a[t]+=floor(w[n][i]);}for(int i=1;i<n;i++){for(int j=1;j<n;j++){add(r(i),c(j),ceil(w[i][j])-floor(w[i][j]));a[r(i)]-=floor(w[i][j]),a[c(j)]+=floor(w[i][j]);}}add(t,s,INF);for(int i=1;i<=(n<<1);i++){if(a[i]>0) dif+=a[i],add(S,i,a[i]);else if(a[i]<0) add(i,T,-a[i]);} }void bfs(int s) {memset(lv+1,0,sizeof(int)*tot);q.push(s),lv[s]=1;while(!q.empty()){int x=q.front(); q.pop();for(int i=0;i<edge[x].size();i++){Edge temp=edge[x][i];if(temp.cap>0 && !lv[temp.dst]){lv[temp.dst]=lv[x]+1;q.push(temp.dst);}}} }int dfs(int x,int t,int f) {if(x==t) return f;for(int &i=it[x];i<edge[x].size();i++){Edge &temp=edge[x][i];if(temp.cap>0 && lv[x]<lv[temp.dst]){int d=dfs(temp.dst,t,min(f,temp.cap));if(d>0){temp.cap-=d;edge[temp.dst][temp.rev].cap+=d;return d;}}}return 0; }int max_flow(int s,int t) {int ans=0,f;while(true){bfs(s);if(!lv[t]) return ans;memset(it+1,0,sizeof(int)*tot);while((f=dfs(s,t,INF))>0) ans+=f;} }void work() {build();int now=max_flow(S,T);if(now!=dif){printf("No\n");return;}printf("%d\n",max_flow(s,t)*3); }int main() {read();work(); }

轉載于:https://www.cnblogs.com/Leohh/p/9175419.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的BZOJ 3698 XWW的难题：有上下界的最大流的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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