1.? 距離、向量空間、度量空間、線性度量空間

距離包括各個點之間的距離，向量之間的距離，曲線之間的距離，函數(shù)之間的距離等。

距離用于衡量同一空間不同元素之間的差異，下面是關(guān)于距離的屬性：

1)元素之間的距離大于等于0，若距離等于0則為相同元素。d(x,y)>=0? x=y時 d(x,y)=0

2)A到B的距離等于B到A的距離。d(x,y)=d(y,x)

3)滿足三角不等式。d(x,y)<=d(x,c)+d(c,y)

擁有距離的空間叫做度量空間。

線性結(jié)構(gòu)，如向量的加法、數(shù)乘，使其滿足加法的交換律、結(jié)合律、零元、負元；數(shù)乘的交換律、單位一；數(shù)乘與加法的結(jié)合律(兩個)共八點要求：

1)交換律? x+y=y+x

2)?? 結(jié)合律? (x+y)+z=x+(y+z)

3)?? 零元素?? x+0=x

4)?? 負元素 在空間中每一個元素x，都有元素y，使得x+y=0

5)?? 1x=x

6)?? k(lx)=(kl)x

7)?? (k+l)x=kx+lx

8)?? k(x+y)=kx+ky

從而形成一個線性空間，這個線性空間就是向量空間，線性空間又叫向量空間。

度量空間+線性結(jié)構(gòu)?線性度量空間

2. 范數(shù)、賦范空間、度量空間與賦范空間的關(guān)系

范數(shù)的概念，表示某點到空間零點的距離：

1. ||x|| ≥0;

2. ||ax||=|a|||x||;

3. ||x+y||≤||x||+||y||。

擁有范數(shù)的空間稱為賦范空間。賦范空間一定是度量空間。

賦范空間+線性結(jié)構(gòu)?線性賦范空間

3. 內(nèi)積、內(nèi)積空間、歐幾里得空間

內(nèi)積：

設(shè)K是實數(shù)域或復(fù)數(shù)域，H是K上線性空間，如果對H中任何兩個向量x，y，都對應(yīng)著一個數(shù)(x，y)∈K，滿足條件：

1.(共軛對稱性)

2.(對第一變元的線性性)對任何x，y，z∈H及α，β∈K，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z).

3.(正定性)對一切x∈H，有(x，x)≥0且(x，x)=0?x=0

在范數(shù)的概念上加了角度限制條件。擁有內(nèi)積的空間叫做內(nèi)積空間。內(nèi)積空間一定是賦范空間。

有限維內(nèi)積空間是歐幾里得空間。歐幾里得空間是一個定義了內(nèi)積的實數(shù)域上的向量空間。

4. 完備性、希爾伯特空間、巴拿赫空間

集合中的元素取極限不超出此空間稱其具有完備性。

例如：有理數(shù)組成的一個集合{1，1.4，1.41，1.414，1.4142…}，此集合極限為√2，而√2是無理數(shù)，不是有理數(shù)，即有理數(shù)不具備完備性。一個通俗的理解是把學(xué)校理解為一個空間，你從學(xué)校內(nèi)的宿舍中開始一直往外走，當(dāng)走不動停下來時(極限收斂)，發(fā)現(xiàn)已經(jīng)走出學(xué)校了(超出空間)，不在學(xué)校范圍內(nèi)了(不完備了)。

賦范空間+完備性?巴拿赫空間

內(nèi)積空間(無限維)+完備性? 希爾伯特空間

換個角度來理解函數(shù)空間，如泰勒展開，是將f(x)表示為{

}的線性組合的形式；比如傅里葉展開，是將f(x)表示成無限三角函數(shù)線性組合的形式。而{

}或無限維的三角函數(shù)，也叫作一個函數(shù)空間的基。

5.拓撲空間

以上都是距離或者線性空間的基礎(chǔ)上逐漸增加條件，那如果嘗試減少條件呢？比如不要角度的概念，甚至不要距離的概念。比如“連續(xù)”的定義：對所有的

即為連續(xù)。或者寫成

。

換句話說，拓撲是元素X與其規(guī)則

合起來。所以，拓撲是弱化了的距離，能描述的范圍最廣泛。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的欧氏空间距离和内积_线性空间，度量空间，赋范空间，线性赋范空间，内积空间，巴拿赫空间以及希尔伯特空间、拓扑空间...的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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