本周學習了數學專題

今天整理剩下的

特殊計數

Catalan 數是一種序列，增長速度快，但其中有組合計數。
實際問題：
1.hdu2067小兔棋盤

hdu2067

就沿對角線的那一串數字

該題直接計算數很大，找到規律用遞推把下三角的數都計算下來

#include <iostream> #include <cstring> using namespace std;long long dp[40][40];int main() {int n;int t=1;for(int i=1;i<=36;i++)dp[i][0]=1;for(int i=1;i<36;i++){for(int j=1;j<36;j++){if(i==j) dp[i][j]=dp[i][j-1];elsedp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];}}while(cin>>n&&n!=-1){cout<<t++<<" "<<n<<" ";cout<<2*dp[n][n]<<endl;}return 0; }

2.括號問題:
用n個左括號和n個右括號組成的一串字符串有多少種合法組合?定義左括號為0，右括號為1。問題轉化為n個0和n個1組成的序列，在任意前k個序列中0的數量都大于1的數量。

n對括號排列，左括號看做是在棋盤沿著 x 方向走， 右括號看做是在棋盤沿著 y 方向走.
前面的任意k個括號，左括號的數 >= 右括號的數。相當于在棋盤走，沒有超過 y = x 這條線。這也就是卡特蘭數的定義。
3.出棧序列問題:
給定一個字符串形式表示的入棧順序，求出一共多少種可能的出棧順序？比如1,2,3進棧，則出棧順序一共5種，即123，132，213，231，321。

hdu5184

4.二叉樹問題：
hdu1130、hdu3240
題目大意：
n個結點所能構成的多少種不同的搜索二叉樹。（竟然是卡特蘭數）

卡特蘭數：(令F(0)=1,F(1)=1)

① 遞推式：F(n)= F(0)*F(n-1)+F(1)F(n-2) + … + F(n-1)F(0) (n>=2)
通項式：F(n)=C(2n,n) / (n+1) (n=0,1,2,…)
② 遞推式：F(n)=F(n-1)(4n-2)/(n+1);
通項式：F(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1) (n=0,1,2,…）

package ac;import java.math.BigInteger; import java.util.Scanner;public class l1 {public static void main(String[] args) {BigInteger[] c=new BigInteger[1000+1];c[1]=BigInteger.ONE;for(int i=2;i<=1000;i++){c[i]=c[i-1].multiply(BigInteger.valueOf(4*i-2)).divide(BigInteger.valueOf(i+1));}Scanner cin=new Scanner(System.in);while(cin.hasNextInt())System.out.println(c[cin.nextInt()]);}}

（Java處理）

#include <iostream> #include <string> #include <cstring> using namespace std;const int b=10000; const int N=100+2; int k[N][N];int main() {k[1][1]=1;k[2][1]=2;k[3][1]=5;for(int i=4;i<=100;i++){for(int j=1;j<100;j++)//大數乘法{k[i][j]+=k[i-1][j]*(4*i-2);k[i][j+1]+=k[i][j]/b;//進位k[i][j]%=b;}int t;for(int j=100;j>0;j--)//大數除法{t=k[i][j]%(i+1);k[i][j-1]+=t*b;k[i][j]/=(i+1);}}int n;while(cin>>n){int i=100;while(k[n][i]==0)i--;cout<<k[n][i--];while(i>0)cout<<k[n][i--];cout<<endl;}return 0; }

（卡特蘭數，高精度大數）

5.編程計算Catalan數：
(令F(0)=1,F(1)=1)
(1).F(n)= F(0)*F(n-1)+F(1)F(n-2) + … + F(n-1)F(0) (n>=2)
(2).F(n)=F(n-1)(4n-2)/(n+1);
(3)F(n)=C(2n,n) / (n+1) (n=0,1,2,…)
從（2）可以知道，當n很大的時候，Fn/Fn-1約等于4.所以卡特蘭數是以約4ⁿ遞增的，增長極快。

這三個公式應用場合不同，（1）適用于：當n比較小時，100以內的卡特蘭數時。不過這時數也很大，但（2）比（1）更容易溢出。此時用（1）比較好。對于更大的卡特蘭數，需要進行精度計算。
（2）（3）適用于：n非常大的時候，需要取模運算。不過，（2）（3）都有大除法，對大數做除法會損失精度，所以需要逆元，然后再取模。（3）算階乘同時也要對階乘取模，在公式計算。

Stirling數

第一類Stirling數s(n,k)：
把n個不同的元素分配到k個圓排列里，圓不能空。問有多少種分法。

數學期望

具有線性性質。由于線性性質和Dp狀態轉移思想相似。所以常用Dp來實現。

巴什游戲與P-position,N-position

1.巴什游戲（Bash Game）
2.P-position,N-position與動態規劃

尼姆游戲

圖游戲與Sprague-Grundy函數

1.圖游戲
2.Sprague-Grundy函數
3.用Sprague-Grundy函數求巴什游戲
4.用Sprague-Grundy函數求尼姆游戲

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2021-10-02的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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